Επίλυση ∫ (from 0 to 4) of (6-(4-sqrt{x})^2) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 4 } ( 6 - ( 4 - \sqrt { x } ) ^ { 2 } ) d x$$

Υπολογισμός

$$-\frac{16}{3}\approx -5,333333333$$

Βήματα λύσης

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(4-\sqrt{x}\right)^{2}.

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+\left(\sqrt{x}\right)^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Υπολογίστε το \sqrt{x}στη δύναμη του 2 και λάβετε x.

$$\int _{0}^{4}6-\left(16-8\sqrt{x}+x\right)\mathrm{d}x$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 16-8\sqrt{x}+x, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$\int _{0}^{4}6-16+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Αφαιρέστε 16 από 6 για να λάβετε -10.

$$\int _{0}^{4}-10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα πρώτα.

$$\int -10+8\sqrt{x}-x\mathrm{d}x$$

Ενσωματώστε τον όρο άθροιση ανά όρο.

$$\int -10\mathrm{d}x+\int 8\sqrt{x}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

Παραγοντοποιήστε τη σταθερά σε κάθε όρο.

$$\int -10\mathrm{d}x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

Βρείτε το ολοκλήρωμα των -10 χρησιμοποιώντας τον πίνακα με τον κοινό ολοκληρώματα κανόνα \int a\mathrm{d}x=ax.

$$-10x+8\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

Γράψτε πάλι το \sqrt{x} ως x^{\frac{1}{2}}. Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x με \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Απλοποιήστε. Πολλαπλασιάστε το 8 επί \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}.

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\int x\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x\mathrm{d}x με \frac{x^{2}}{2}. Πολλαπλασιάστε το -1 επί \frac{x^{2}}{2}.

$$-10x+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

Απλοποιήστε.

$$-10x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{16x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι η αντιπαράγωγος της παράστασης που έχει εκτιμηθεί στο άνω όριο της ολοκλήρωσης μείον την αντιπαράγωγο στο κάτω όριο της ολοκλήρωσης.

$$-10\times 4-\frac{4^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}-\left(-10\times 0-\frac{0^{2}}{2}+\frac{16}{3}\times 0^{\frac{3}{2}}\right)$$

Απλοποιήστε.

$$-\frac{16}{3}$$