Επίλυση ∫ (from 0 to 4) of (sqrt{x}-2)^2

$$\int _ { 0 } ^ { 4 } ( \sqrt { x } - 2 ) ^ { 2 }$$

Υπολογισμός

$$\frac{8}{3}\approx 2,666666667$$

Βήματα λύσης

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(\sqrt{x}-2\right)^{2}.

$$\int _{0}^{4}\left(\sqrt{x}\right)^{2}-4\sqrt{x}+4\mathrm{d}x$$

Υπολογίστε το \sqrt{x}στη δύναμη του 2 και λάβετε x.

$$\int _{0}^{4}x-4\sqrt{x}+4\mathrm{d}x$$

Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα πρώτα.

$$\int x-4\sqrt{x}+4\mathrm{d}x$$

Ενσωματώστε τον όρο άθροιση ανά όρο.

$$\int x\mathrm{d}x+\int -4\sqrt{x}\mathrm{d}x+\int 4\mathrm{d}x$$

Παραγοντοποιήστε τη σταθερά σε κάθε όρο.

$$\int x\mathrm{d}x-4\int \sqrt{x}\mathrm{d}x+\int 4\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x\mathrm{d}x με \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{2}}{2}-4\int \sqrt{x}\mathrm{d}x+\int 4\mathrm{d}x$$

Γράψτε πάλι το \sqrt{x} ως x^{\frac{1}{2}}. Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x με \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Απλοποιήστε. Πολλαπλασιάστε το -4 επί \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}.

$$\frac{x^{2}}{2}-\frac{8x^{\frac{3}{2}}}{3}+\int 4\mathrm{d}x$$

Βρείτε το ολοκλήρωμα των 4 χρησιμοποιώντας τον πίνακα με τον κοινό ολοκληρώματα κανόνα \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{2}}{2}-\frac{8x^{\frac{3}{2}}}{3}+4x$$

Απλοποιήστε.

$$4x-\frac{8x^{\frac{3}{2}}}{3}+\frac{x^{2}}{2}$$

Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι η αντιπαράγωγος της παράστασης που έχει εκτιμηθεί στο άνω όριο της ολοκλήρωσης μείον την αντιπαράγωγο στο κάτω όριο της ολοκλήρωσης.

$$4\times 4-\frac{8}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}+\frac{4^{2}}{2}-\left(4\times 0-\frac{8}{3}\times 0^{\frac{3}{2}}+\frac{0^{2}}{2}\right)$$

Απλοποιήστε.

$$\frac{8}{3}$$