Επίλυση ∫ (from 0 to 1) of (1-8v^3+16v^7)dv

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - 8 v ^ { 3 } + 16 v ^ { 7 } ) d v$$

Υπολογισμός

$$1$$

Βήματα λύσης

Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα πρώτα.

$$\int 1-8v^{3}+16v^{7}\mathrm{d}v$$

Ενσωματώστε τον όρο άθροιση ανά όρο.

$$\int 1\mathrm{d}v+\int -8v^{3}\mathrm{d}v+\int 16v^{7}\mathrm{d}v$$

Παραγοντοποιήστε τη σταθερά σε κάθε όρο.

$$\int 1\mathrm{d}v-8\int v^{3}\mathrm{d}v+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

Βρείτε το ολοκλήρωμα των 1 χρησιμοποιώντας τον πίνακα με τον κοινό ολοκληρώματα κανόνα \int a\mathrm{d}v=av.

$$v-8\int v^{3}\mathrm{d}v+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

Καθώς \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int v^{3}\mathrm{d}v με \frac{v^{4}}{4}. Πολλαπλασιάστε το -8 επί \frac{v^{4}}{4}.

$$v-2v^{4}+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

Καθώς \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int v^{7}\mathrm{d}v με \frac{v^{8}}{8}. Πολλαπλασιάστε το 16 επί \frac{v^{8}}{8}.

$$v-2v^{4}+2v^{8}$$

Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι η αντιπαράγωγος της παράστασης που έχει εκτιμηθεί στο άνω όριο της ολοκλήρωσης μείον την αντιπαράγωγο στο κάτω όριο της ολοκλήρωσης.

$$1-2\times 1^{4}+2\times 1^{8}-\left(0-2\times 0^{4}+2\times 0^{8}\right)$$

Απλοποιήστε.

$$1$$