Επίλυση ∫ (from 0 to pi / 3) of (1-cosθ)^2

$$\int _ { 0 } ^ { \pi / 3 } ( 1 - \cos \theta ) ^ { 2 }$$

Υπολογισμός

$$\frac{\pi \left(\cos(\theta )-1\right)^{2}}{3}$$

Βήματα λύσης

Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα πρώτα.

$$\int \left(1-\cos(\theta )\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Βρείτε το ολοκλήρωμα των \left(1-\cos(\theta )\right)^{2} χρησιμοποιώντας τον πίνακα με τον κοινό ολοκληρώματα κανόνα \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\left(1-\cos(\theta )\right)^{2}x$$

Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι η αντιπαράγωγος της παράστασης που έχει εκτιμηθεί στο άνω όριο της ολοκλήρωσης μείον την αντιπαράγωγο στο κάτω όριο της ολοκλήρωσης.

$$\frac{1}{3}\left(1-\cos(\theta )\right)^{2}\pi +0\left(1-\cos(\theta )\right)^{2}$$

Απλοποιήστε.

$$\frac{\left(\cos(\theta )-1\right)^{2}\pi }{3}$$

Διαφόριση ως προς θ

$$-\frac{2\pi \sin(\theta )\left(\cos(\theta )-1\right)}{3}$$