Επίλυση ∫ (from - 3 to - 1) of (1/x^2-1/x^3) wrt x

$$\int _ { - 3 } ^ { - 1 } ( \frac { 1 } { x ^ { 2 } } - \frac { 1 } { x ^ { 3 } } ) d x$$

Υπολογισμός

$$\frac{10}{9}\approx 1,111111111$$

Βήματα λύσης

Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα πρώτα.

$$\int \frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x$$

Ενσωματώστε τον όρο άθροιση ανά όρο.

$$\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x+\int -\frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x$$

Παραγοντοποιήστε τη σταθερά σε κάθε όρο.

$$\int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x-\int \frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int \frac{1}{x^{2}}\mathrm{d}x με -\frac{1}{x}.

$$-\frac{1}{x}-\int \frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int \frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x με -\frac{1}{2x^{2}}. Πολλαπλασιάστε το -1 επί -\frac{1}{2x^{2}}.

$$-\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^{2}}$$

Απλοποιήστε.

$$\frac{\frac{1}{2}-x}{x^{2}}$$

Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι η αντιπαράγωγος της παράστασης που έχει εκτιμηθεί στο άνω όριο της ολοκλήρωσης μείον την αντιπαράγωγο στο κάτω όριο της ολοκλήρωσης.

$$\left(\frac{1}{2}-\left(-1\right)\right)\left(-1\right)^{-2}-\left(\frac{1}{2}-\left(-3\right)\right)\left(-3\right)^{-2}$$

Απλοποιήστε.

$$\frac{10}{9}$$