Επίλυση ∫ (from - 1 to 1) of -(3+x)(x+4) wrt x

$$\int _ { - 1 } ^ { 1 } - ( 3 + x ) ( x + 4 ) d x$$

Υπολογισμός

$$-\frac{74}{3}\approx -24,666666667$$

Βήματα λύσης

Για να βρείτε τον αντίθετο του 3+x, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$\int _{-1}^{1}\left(-3-x\right)\left(x+4\right)\mathrm{d}x$$

Εφαρμόστε την επιμεριστική ιδιότητα πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο του -3-x με κάθε όρο του x+4.

$$\int _{-1}^{1}-3x-12-x^{2}-4x\mathrm{d}x$$

Συνδυάστε το -3x και το -4x για να λάβετε -7x.

$$\int _{-1}^{1}-7x-12-x^{2}\mathrm{d}x$$

Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα πρώτα.

$$\int -7x-12-x^{2}\mathrm{d}x$$

Ενσωματώστε τον όρο άθροιση ανά όρο.

$$\int -7x\mathrm{d}x+\int -12\mathrm{d}x+\int -x^{2}\mathrm{d}x$$

Παραγοντοποιήστε τη σταθερά σε κάθε όρο.

$$-7\int x\mathrm{d}x+\int -12\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x\mathrm{d}x με \frac{x^{2}}{2}. Πολλαπλασιάστε το -7 επί \frac{x^{2}}{2}.

$$-\frac{7x^{2}}{2}+\int -12\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Βρείτε το ολοκλήρωμα των -12 χρησιμοποιώντας τον πίνακα με τον κοινό ολοκληρώματα κανόνα \int a\mathrm{d}x=ax.

$$-\frac{7x^{2}}{2}-12x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x^{2}\mathrm{d}x με \frac{x^{3}}{3}. Πολλαπλασιάστε το -1 επί \frac{x^{3}}{3}.

$$-\frac{7x^{2}}{2}-12x-\frac{x^{3}}{3}$$

Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι η αντιπαράγωγος της παράστασης που έχει εκτιμηθεί στο άνω όριο της ολοκλήρωσης μείον την αντιπαράγωγο στο κάτω όριο της ολοκλήρωσης.

$$-\frac{7}{2}\times 1^{2}-12-\frac{1^{3}}{3}-\left(-\frac{7}{2}\left(-1\right)^{2}-12\left(-1\right)-\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}\right)$$

Απλοποιήστε.

$$-\frac{74}{3}$$