Επίλυση ∫ (from - 1 to 1) of (1-y)y wrt y

$$\int _ { - 1 } ^ { 1 } ( 1 - y ) y d y$$

Υπολογισμός

$$-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Βήματα λύσης

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 1-y με το y.

$$\int _{-1}^{1}y-y^{2}\mathrm{d}y$$

Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα πρώτα.

$$\int y-y^{2}\mathrm{d}y$$

Ενσωματώστε τον όρο άθροιση ανά όρο.

$$\int y\mathrm{d}y+\int -y^{2}\mathrm{d}y$$

Παραγοντοποιήστε τη σταθερά σε κάθε όρο.

$$\int y\mathrm{d}y-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Καθώς \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int y\mathrm{d}y με \frac{y^{2}}{2}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Καθώς \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int y^{2}\mathrm{d}y με \frac{y^{3}}{3}. Πολλαπλασιάστε το -1 επί \frac{y^{3}}{3}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}$$

Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι η αντιπαράγωγος της παράστασης που έχει εκτιμηθεί στο άνω όριο της ολοκλήρωσης μείον την αντιπαράγωγο στο κάτω όριο της ολοκλήρωσης.

$$\frac{1^{2}}{2}-\frac{1^{3}}{3}-\left(\frac{\left(-1\right)^{2}}{2}-\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}\right)$$

Απλοποιήστε.

$$-\frac{2}{3}$$