Επίλυση ∫ (3x+2)^3

$$\int ( 3 x + 2 ) ^ { 3 }$$

Υπολογισμός

$$\frac{\left(3x+2\right)^{4}}{12}+С$$

Βήματα λύσης

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} για να αναπτύξετε το \left(3x+2\right)^{3}.

$$\int 27x^{3}+54x^{2}+36x+8\mathrm{d}x$$

Ενσωματώστε τον όρο άθροιση ανά όρο.

$$\int 27x^{3}\mathrm{d}x+\int 54x^{2}\mathrm{d}x+\int 36x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

Παραγοντοποιήστε τη σταθερά σε κάθε όρο.

$$27\int x^{3}\mathrm{d}x+54\int x^{2}\mathrm{d}x+36\int x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x^{3}\mathrm{d}x με \frac{x^{4}}{4}. Πολλαπλασιάστε το 27 επί \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{27x^{4}}{4}+54\int x^{2}\mathrm{d}x+36\int x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x^{2}\mathrm{d}x με \frac{x^{3}}{3}. Πολλαπλασιάστε το 54 επί \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{27x^{4}}{4}+18x^{3}+36\int x\mathrm{d}x+\int 8\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x\mathrm{d}x με \frac{x^{2}}{2}. Πολλαπλασιάστε το 36 επί \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{27x^{4}}{4}+18x^{3}+18x^{2}+\int 8\mathrm{d}x$$

Βρείτε το ολοκλήρωμα των 8 χρησιμοποιώντας τον πίνακα με τον κοινό ολοκληρώματα κανόνα \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{27x^{4}}{4}+18x^{3}+18x^{2}+8x$$

Εάν η F\left(x\right) είναι αντιπαράγωγος του f\left(x\right), τότε δίνεται το σύνολο όλων των antiderivatives του f\left(x\right) από το F\left(x\right)+C. Επομένως, προσθέστε τη σταθερά της ενοποίησης C\in \mathrm{R} στο αποτέλεσμα.

$$\frac{27x^{4}}{4}+18x^{3}+18x^{2}+8x+С$$

Διαφόριση ως προς x

$$\left(3x+2\right)^{3}$$