Επίλυση d/dxleft(sin(x)right)

$$\frac{d}{d x } \left( \sin ( x ) \right)$$

Υπολογισμός

$$\cos(x)$$

Βήματα χρήσης του ορισμού της παραγώγου

Για μια συνάρτηση f\left(x\right), η παράγωγος είναι το όριο της \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} όταν η h τείνει στο 0, εάν υπάρχει αυτό το όριο.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\right)$$

Χρησιμοποιήστε τον τύπο αθροίσματος ημιτόνων.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}$$

Παραγοντοποιήστε το \sin(x).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(x)\sin(h)}{h}$$

Γράψτε ξανά το όριο.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Χρησιμοποιήστε το γεγονός ότι το x είναι μια σταθερά κατά τον υπολογισμό των ορίων όταν το h τείνει στο 0.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Το όριο \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} είναι 1.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)$$

Για να υπολογίσετε το όριο \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, πρώτα πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Πολλαπλασιάστε το \cos(h)+1 επί \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Χρησιμοποιήστε την ταυτότητα του Πυθαγόρα.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Γράψτε ξανά το όριο.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Το όριο \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} είναι 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Χρησιμοποιήστε το γεγονός ότι η \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} είναι συνεχής στο 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Αντικαταστήστε την τιμή 0 στην παράσταση \sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x).

$$\cos(x)$$

Διαφόριση ως προς x

$$-\sin(x)$$