Επίλυση x-1/2x+1=2x+1/x-1+3

$$\frac{ x-1 }{ 2x+1 } = \frac{ 2x+1 }{ x-1 } +3$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\approx 0,434258546$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\approx -0,767591879$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -\frac{1}{2},1 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-1\right)\left(2x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Πολλαπλασιάστε x-1 και x-1 για να λάβετε \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Πολλαπλασιάστε 2x+1 και 2x+1 για να λάβετε \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-1 με το 2x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x^{2}-x-1 με το 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το 6x^{2} για να λάβετε 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Συνδυάστε το 4x και το -3x για να λάβετε x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Αφαιρέστε 3 από 1 για να λάβετε -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Αφαιρέστε 10x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Συνδυάστε το x^{2} και το -10x^{2} για να λάβετε -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Αφαιρέστε x και από τις δύο πλευρές.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Συνδυάστε το -2x και το -x για να λάβετε -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Προσθήκη 2 και στις δύο πλευρές.

$$-9x^{2}-3x+1+2=0$$

Προσθέστε 1 και 2 για να λάβετε 3.

$$-9x^{2}-3x+3=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -9, το b με -3 και το c με 3 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Υψώστε το -3 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -9.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+36\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 36 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+108}}{2\left(-9\right)}$$

Προσθέστε το 9 και το 108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{117}}{2\left(-9\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 117.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -3 είναι 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -9.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 3 και το 3\sqrt{13}.

$$x=\frac{3\sqrt{13}+3}{-18}$$

Διαιρέστε το 3+3\sqrt{13} με το -18.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3\sqrt{13} από 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{13}}{-18}$$

Διαιρέστε το 3-3\sqrt{13} με το -18.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -\frac{1}{2},1 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-1\right)\left(2x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Πολλαπλασιάστε x-1 και x-1 για να λάβετε \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Πολλαπλασιάστε 2x+1 και 2x+1 για να λάβετε \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-1 με το 2x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x^{2}-x-1 με το 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το 6x^{2} για να λάβετε 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Συνδυάστε το 4x και το -3x για να λάβετε x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Αφαιρέστε 3 από 1 για να λάβετε -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Αφαιρέστε 10x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Συνδυάστε το x^{2} και το -10x^{2} για να λάβετε -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Αφαιρέστε x και από τις δύο πλευρές.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Συνδυάστε το -2x και το -x για να λάβετε -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές.

$$-9x^{2}-3x=-2-1$$

Αφαιρέστε 1 από -2 για να λάβετε -3.

$$-9x^{2}-3x=-3$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -9.

$$\frac{-9x^{2}-3x}{-9}=-\frac{3}{-9}$$

Η διαίρεση με το -9 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -9.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-9}\right)x=-\frac{3}{-9}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-3}{-9} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{3}{-9}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-3}{-9} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}$$

Διαιρέστε το \frac{1}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{6}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{6} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

Προσθέστε το \frac{1}{3} και το \frac{1}{36} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{6} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$