Επίλυση x+1/x^2+1-1/2=0

$$\frac{ x+1 }{ { x }^{ 2 } +1 } - \frac{ 1 }{ 2 } =0$$

Λύση ως προς x

$$x=\sqrt{2}+1\approx 2,414213562$$

$$x=1-\sqrt{2}\approx -0,414213562$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 2\left(x^{2}+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}+1,2.

$$2\left(x+1\right)+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το x+1.

$$2x+2+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Πολλαπλασιάστε 2 και -\frac{1}{2} για να λάβετε -1.

$$2x+2-\left(x^{2}+1\right)=0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}+1, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$2x+2-x^{2}-1=0$$

Αφαιρέστε 1 από 2 για να λάβετε 1.

$$2x+1-x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}+2x+1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με 2 και το c με 1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το 2 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 4 και το 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{8}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -2 και το 2\sqrt{2}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}-2}{-2}$$

Διαιρέστε το -2+2\sqrt{2} με το -2.

$$x=1-\sqrt{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2\sqrt{2} από -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}-2}{-2}$$

Διαιρέστε το -2-2\sqrt{2} με το -2.

$$x=\sqrt{2}+1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=1-\sqrt{2} x=\sqrt{2}+1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 2\left(x^{2}+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}+1,2.

$$2\left(x+1\right)+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το x+1.

$$2x+2+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Πολλαπλασιάστε 2 και -\frac{1}{2} για να λάβετε -1.

$$2x+2-\left(x^{2}+1\right)=0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}+1, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$2x+2-x^{2}-1=0$$

Αφαιρέστε 1 από 2 για να λάβετε 1.

$$2x+1-x^{2}=0$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$2x-x^{2}=-1$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+2x=-1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Διαιρέστε το 2 με το -1.

$$x^{2}-2x=-\frac{1}{-1}$$

Διαιρέστε το -1 με το -1.

$$x^{2}-2x=1$$

Διαιρέστε το -2, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -1. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-2x+1=1+1$$

Προσθέστε το 1 και το 1.

$$x^{2}-2x+1=2$$

Παραγον x^{2}-2x+1. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=2$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Απλοποιήστε.

$$x-1=\sqrt{2} x-1=-\sqrt{2}$$

Προσθέστε 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$