Επίλυση 5x+1/x+2+x-1/x=2

$$\frac{ 5x+1 }{ x+2 } + \frac{ x-1 }{ x } =2$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+2,x.

$$x\left(5x+1\right)+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το 5x+1.

$$5x^{2}+x+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+2 με το x-1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$5x^{2}+x+x^{2}+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Συνδυάστε το 5x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 6x^{2}.

$$6x^{2}+x+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Συνδυάστε το x και το x για να λάβετε 2x.

$$6x^{2}+2x-2=2x\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x με το x+2.

$$6x^{2}+2x-2=2x^{2}+4x$$

Αφαιρέστε 2x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$6x^{2}+2x-2-2x^{2}=4x$$

Συνδυάστε το 6x^{2} και το -2x^{2} για να λάβετε 4x^{2}.

$$4x^{2}+2x-2=4x$$

Αφαιρέστε 4x και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}+2x-2-4x=0$$

Συνδυάστε το 2x και το -4x για να λάβετε -2x.

$$4x^{2}-2x-2=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$2x^{2}-x-1=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx-1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-1 ab=2\left(-1\right)=-2$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=-2 b=1$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}-x-1 ως \left(2x^{2}-2x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(2x^{2}-2x\right)+\left(x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 2x στην εξίσωση 2x^{2}-2x.

$$2x\left(x-1\right)+x-1$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-1=0 και 2x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+2,x.

$$x\left(5x+1\right)+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το 5x+1.

$$5x^{2}+x+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+2 με το x-1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$5x^{2}+x+x^{2}+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Συνδυάστε το 5x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 6x^{2}.

$$6x^{2}+x+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Συνδυάστε το x και το x για να λάβετε 2x.

$$6x^{2}+2x-2=2x\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x με το x+2.

$$6x^{2}+2x-2=2x^{2}+4x$$

Αφαιρέστε 2x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$6x^{2}+2x-2-2x^{2}=4x$$

Συνδυάστε το 6x^{2} και το -2x^{2} για να λάβετε 4x^{2}.

$$4x^{2}+2x-2=4x$$

Αφαιρέστε 4x και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}+2x-2-4x=0$$

Συνδυάστε το 2x και το -4x για να λάβετε -2x.

$$4x^{2}-2x-2=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με -2 και το c με -2 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το -2 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+32}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 4 και το 32.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{36}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 36.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±6}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -2 είναι 2.

$$x=\frac{2±6}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{2±6}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±6}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 2 και το 6.

$$x=\frac{8}{8}$$

Διαιρέστε το 8 με το 8.

$$x=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±6}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 6 από 2.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-4}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+2,x.

$$x\left(5x+1\right)+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το 5x+1.

$$5x^{2}+x+\left(x+2\right)\left(x-1\right)=2x\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+2 με το x-1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$5x^{2}+x+x^{2}+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Συνδυάστε το 5x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 6x^{2}.

$$6x^{2}+x+x-2=2x\left(x+2\right)$$

Συνδυάστε το x και το x για να λάβετε 2x.

$$6x^{2}+2x-2=2x\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x με το x+2.

$$6x^{2}+2x-2=2x^{2}+4x$$

Αφαιρέστε 2x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$6x^{2}+2x-2-2x^{2}=4x$$

Συνδυάστε το 6x^{2} και το -2x^{2} για να λάβετε 4x^{2}.

$$4x^{2}+2x-2=4x$$

Αφαιρέστε 4x και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}+2x-2-4x=0$$

Συνδυάστε το 2x και το -4x για να λάβετε -2x.

$$4x^{2}-2x-2=0$$

Προσθήκη 2 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$4x^{2}-2x=2$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=\frac{2}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=\frac{2}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-2}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{2}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$$

Διαιρέστε το -\frac{1}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

Προσθέστε το \frac{1}{2} και το \frac{1}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{16}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Προσθέστε \frac{1}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=1 x=-\frac{1}{2}$$