Επίλυση 400/x+20+400/52/x+20+frac{400/53}{x}=11

$$\frac{ 400 }{ x+20 } + \frac{ \frac{ 400 }{ 5 } 2 }{ x+20 } + \frac{ \frac{ 400 }{ 5 } 3 }{ x } = 11$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{80}{11} = -7\frac{3}{11} \approx -7,272727273$$

$$x=60$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -20,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x+20\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+20,x.

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Διαιρέστε το 400 με το 5 για να λάβετε 80.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Πολλαπλασιάστε 80 και 2 για να λάβετε 160.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Συνδυάστε το x\times 400 και το x\times 160 για να λάβετε 560x.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Διαιρέστε το 400 με το 5 για να λάβετε 80.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Πολλαπλασιάστε 80 και 3 για να λάβετε 240.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+20 με το 240.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Συνδυάστε το 560x και το 240x για να λάβετε 800x.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 11x με το x+20.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

Αφαιρέστε 11x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

Αφαιρέστε 220x και από τις δύο πλευρές.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

Συνδυάστε το 800x και το -220x για να λάβετε 580x.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-11x^{2}+580x+4800=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -11x^{2}+ax+bx+4800. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=580 ab=-11\times 4800=-52800$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -52800.

$$-1,52800 -2,26400 -3,17600 -4,13200 -5,10560 -6,8800 -8,6600 -10,5280 -11,4800 -12,4400 -15,3520 -16,3300 -20,2640 -22,2400 -24,2200 -25,2112 -30,1760 -32,1650 -33,1600 -40,1320 -44,1200 -48,1100 -50,1056 -55,960 -60,880 -64,825 -66,800 -75,704 -80,660 -88,600 -96,550 -100,528 -110,480 -120,440 -132,400 -150,352 -160,330 -165,320 -176,300 -192,275 -200,264 -220,240$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+52800=52799 -2+26400=26398 -3+17600=17597 -4+13200=13196 -5+10560=10555 -6+8800=8794 -8+6600=6592 -10+5280=5270 -11+4800=4789 -12+4400=4388 -15+3520=3505 -16+3300=3284 -20+2640=2620 -22+2400=2378 -24+2200=2176 -25+2112=2087 -30+1760=1730 -32+1650=1618 -33+1600=1567 -40+1320=1280 -44+1200=1156 -48+1100=1052 -50+1056=1006 -55+960=905 -60+880=820 -64+825=761 -66+800=734 -75+704=629 -80+660=580 -88+600=512 -96+550=454 -100+528=428 -110+480=370 -120+440=320 -132+400=268 -150+352=202 -160+330=170 -165+320=155 -176+300=124 -192+275=83 -200+264=64 -220+240=20$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 580.

$$a=660 b=-80$$

Γράψτε πάλι το -11x^{2}+580x+4800 ως \left(-11x^{2}+660x\right)+\left(-80x+4800\right).

$$\left(-11x^{2}+660x\right)+\left(-80x+4800\right)$$

Παραγοντοποιήστε 11x στο πρώτο και στο 80 της δεύτερης ομάδας.

$$11x\left(-x+60\right)+80\left(-x+60\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -x+60 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-x+60\right)\left(11x+80\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε -x+60=0 και 11x+80=0.

$$x=60 x=-\frac{80}{11}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -20,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x+20\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+20,x.

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Διαιρέστε το 400 με το 5 για να λάβετε 80.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Πολλαπλασιάστε 80 και 2 για να λάβετε 160.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Συνδυάστε το x\times 400 και το x\times 160 για να λάβετε 560x.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Διαιρέστε το 400 με το 5 για να λάβετε 80.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Πολλαπλασιάστε 80 και 3 για να λάβετε 240.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+20 με το 240.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Συνδυάστε το 560x και το 240x για να λάβετε 800x.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 11x με το x+20.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

Αφαιρέστε 11x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

Αφαιρέστε 220x και από τις δύο πλευρές.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

Συνδυάστε το 800x και το -220x για να λάβετε 580x.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-11x^{2}+580x+4800=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -11, το b με 580 και το c με 4800 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-580±\sqrt{580^{2}-4\left(-11\right)\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

Υψώστε το 580 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400-4\left(-11\right)\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -11.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400+44\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 44 επί 4800.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400+211200}}{2\left(-11\right)}$$

Προσθέστε το 336400 και το 211200.

$$x=\frac{-580±\sqrt{547600}}{2\left(-11\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 547600.

$$x=\frac{-580±740}{2\left(-11\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -11.

$$x=\frac{-580±740}{-22}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-580±740}{-22} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -580 και το 740.

$$x=\frac{160}{-22}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{160}{-22} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{80}{11}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-580±740}{-22} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 740 από -580.

$$x=-\frac{1320}{-22}$$

Διαιρέστε το -1320 με το -22.

$$x=60$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{80}{11} x=60$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -20,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x+20\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+20,x.

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Διαιρέστε το 400 με το 5 για να λάβετε 80.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Πολλαπλασιάστε 80 και 2 για να λάβετε 160.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Συνδυάστε το x\times 400 και το x\times 160 για να λάβετε 560x.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Διαιρέστε το 400 με το 5 για να λάβετε 80.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

Πολλαπλασιάστε 80 και 3 για να λάβετε 240.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+20 με το 240.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Συνδυάστε το 560x και το 240x για να λάβετε 800x.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 11x με το x+20.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

Αφαιρέστε 11x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

Αφαιρέστε 220x και από τις δύο πλευρές.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

Συνδυάστε το 800x και το -220x για να λάβετε 580x.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

Αφαιρέστε 4800 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$580x-11x^{2}=-4800$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-11x^{2}+580x=-4800$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -11.

$$\frac{-11x^{2}+580x}{-11}=-\frac{4800}{-11}$$

Η διαίρεση με το -11 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -11.

$$x^{2}+\frac{580}{-11}x=-\frac{4800}{-11}$$

Διαιρέστε το 580 με το -11.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x=-\frac{4800}{-11}$$

Διαιρέστε το -4800 με το -11.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x=\frac{4800}{11}$$

Διαιρέστε το -\frac{580}{11}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{290}{11}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{290}{11} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\left(-\frac{290}{11}\right)^{2}=\frac{4800}{11}+\left(-\frac{290}{11}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{290}{11} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121}=\frac{4800}{11}+\frac{84100}{121}$$

Προσθέστε το \frac{4800}{11} και το \frac{84100}{121} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121}=\frac{136900}{121}$$

Παραγον x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{290}{11}\right)^{2}=\frac{136900}{121}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{290}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{136900}{121}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{290}{11}=\frac{370}{11} x-\frac{290}{11}=-\frac{370}{11}$$

Προσθέστε \frac{290}{11} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=60 x=-\frac{80}{11}$$