Επίλυση 4/x-2-x-3/x+4=0

$$\frac{ 4 }{ x-2 } - \frac{ x-3 }{ x+4 } =0$$

Λύση ως προς x

$$x=-1$$

$$x=10$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -4,2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-2\right)\left(x+4\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-2,x+4.

$$\left(x+4\right)\times 4-\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+4 με το 4.

$$4x+16-\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το x-3 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$4x+16-\left(x^{2}-5x+6\right)=0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}-5x+6, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$4x+16-x^{2}+5x-6=0$$

Συνδυάστε το 4x και το 5x για να λάβετε 9x.

$$9x+16-x^{2}-6=0$$

Αφαιρέστε 6 από 16 για να λάβετε 10.

$$9x+10-x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-x^{2}+9x+10=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx+10. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=9 ab=-10=-10$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -10.

$$-1,10 -2,5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 9.

$$a=10 b=-1$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+9x+10 ως \left(-x^{2}+10x\right)+\left(-x+10\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(-x+10\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(x-10\right)-\left(x-10\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-10 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-10\right)\left(-x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-10=0 και -x-1=0.

$$x=10 x=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -4,2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-2\right)\left(x+4\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-2,x+4.

$$\left(x+4\right)\times 4-\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+4 με το 4.

$$4x+16-\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το x-3 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$4x+16-\left(x^{2}-5x+6\right)=0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}-5x+6, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$4x+16-x^{2}+5x-6=0$$

Συνδυάστε το 4x και το 5x για να λάβετε 9x.

$$9x+16-x^{2}-6=0$$

Αφαιρέστε 6 από 16 για να λάβετε 10.

$$9x+10-x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}+9x+10=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με 9 και το c με 10 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-1\right)\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το 9 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-1\right)\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+4\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 10.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 81 και το 40.

$$x=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 121.

$$x=\frac{-9±11}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{-9±11}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-9±11}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -9 και το 11.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Διαιρέστε το 2 με το -2.

$$x=-1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-9±11}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 11 από -9.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Διαιρέστε το -20 με το -2.

$$x=10$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-1 x=10$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -4,2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-2\right)\left(x+4\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-2,x+4.

$$\left(x+4\right)\times 4-\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+4 με το 4.

$$4x+16-\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το x-3 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$4x+16-\left(x^{2}-5x+6\right)=0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}-5x+6, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$4x+16-x^{2}+5x-6=0$$

Συνδυάστε το 4x και το 5x για να λάβετε 9x.

$$9x+16-x^{2}-6=0$$

Αφαιρέστε 6 από 16 για να λάβετε 10.

$$9x+10-x^{2}=0$$

Αφαιρέστε 10 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$9x-x^{2}=-10$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+9x=-10$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}+9x}{-1}=-\frac{10}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\frac{9}{-1}x=-\frac{10}{-1}$$

Διαιρέστε το 9 με το -1.

$$x^{2}-9x=-\frac{10}{-1}$$

Διαιρέστε το -10 με το -1.

$$x^{2}-9x=10$$

Διαιρέστε το -9, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{9}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{9}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=10+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{9}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=10+\frac{81}{4}$$

Προσθέστε το 10 και το \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{121}{4}$$

Παραγον x^{2}-9x+\frac{81}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{11}{2}$$

Προσθέστε \frac{9}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=10 x=-1$$