Επίλυση 2x+1/x+4x/2x+1=5

$$\frac{ 2x+1 }{ x } + \frac{ 4x }{ 2x+1 } =5$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=-1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -\frac{1}{2},0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(2x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,2x+1.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Πολλαπλασιάστε 2x+1 και 2x+1 για να λάβετε \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(2x+1\right)^{2}+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Πολλαπλασιάστε x και x για να λάβετε x^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x^{2}\times 4=5x\left(2x+1\right)$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το x^{2}\times 4 για να λάβετε 8x^{2}.

$$8x^{2}+4x+1=5x\left(2x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5x με το 2x+1.

$$8x^{2}+4x+1=10x^{2}+5x$$

Αφαιρέστε 10x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$8x^{2}+4x+1-10x^{2}=5x$$

Συνδυάστε το 8x^{2} και το -10x^{2} για να λάβετε -2x^{2}.

$$-2x^{2}+4x+1=5x$$

Αφαιρέστε 5x και από τις δύο πλευρές.

$$-2x^{2}+4x+1-5x=0$$

Συνδυάστε το 4x και το -5x για να λάβετε -x.

$$-2x^{2}-x+1=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -2x^{2}+ax+bx+1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-1 ab=-2=-2$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=1 b=-2$$

Γράψτε πάλι το -2x^{2}-x+1 ως \left(-2x^{2}+x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(-2x^{2}+x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-1\right)\left(-x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2x-1=0 και -x-1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -\frac{1}{2},0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(2x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,2x+1.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Πολλαπλασιάστε 2x+1 και 2x+1 για να λάβετε \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(2x+1\right)^{2}+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Πολλαπλασιάστε x και x για να λάβετε x^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x^{2}\times 4=5x\left(2x+1\right)$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το x^{2}\times 4 για να λάβετε 8x^{2}.

$$8x^{2}+4x+1=5x\left(2x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5x με το 2x+1.

$$8x^{2}+4x+1=10x^{2}+5x$$

Αφαιρέστε 10x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$8x^{2}+4x+1-10x^{2}=5x$$

Συνδυάστε το 8x^{2} και το -10x^{2} για να λάβετε -2x^{2}.

$$-2x^{2}+4x+1=5x$$

Αφαιρέστε 5x και από τις δύο πλευρές.

$$-2x^{2}+4x+1-5x=0$$

Συνδυάστε το 4x και το -5x για να λάβετε -x.

$$-2x^{2}-x+1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -2, το b με -1 και το c με 1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+8}}{2\left(-2\right)}$$

Προσθέστε το 1 και το 8.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{9}}{2\left(-2\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 9.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±3}{2\left(-2\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -1 είναι 1.

$$x=\frac{1±3}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -2.

$$x=\frac{1±3}{-4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±3}{-4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 1 και το 3.

$$x=\frac{4}{-4}$$

Διαιρέστε το 4 με το -4.

$$x=-1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±3}{-4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3 από 1.

$$x=-\frac{2}{-4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-2}{-4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-1 x=\frac{1}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -\frac{1}{2},0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(2x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,2x+1.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Πολλαπλασιάστε 2x+1 και 2x+1 για να λάβετε \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(2x+1\right)^{2}+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x\times 4x=5x\left(2x+1\right)$$

Πολλαπλασιάστε x και x για να λάβετε x^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+x^{2}\times 4=5x\left(2x+1\right)$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το x^{2}\times 4 για να λάβετε 8x^{2}.

$$8x^{2}+4x+1=5x\left(2x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5x με το 2x+1.

$$8x^{2}+4x+1=10x^{2}+5x$$

Αφαιρέστε 10x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$8x^{2}+4x+1-10x^{2}=5x$$

Συνδυάστε το 8x^{2} και το -10x^{2} για να λάβετε -2x^{2}.

$$-2x^{2}+4x+1=5x$$

Αφαιρέστε 5x και από τις δύο πλευρές.

$$-2x^{2}+4x+1-5x=0$$

Συνδυάστε το 4x και το -5x για να λάβετε -x.

$$-2x^{2}-x+1=0$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$-2x^{2}-x=-1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -2.

$$\frac{-2x^{2}-x}{-2}=-\frac{1}{-2}$$

Η διαίρεση με το -2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-2}\right)x=-\frac{1}{-2}$$

Διαιρέστε το -1 με το -2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{-2}$$

Διαιρέστε το -1 με το -2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$$

Διαιρέστε το \frac{1}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$$

Προσθέστε το \frac{1}{2} και το \frac{1}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{16}$$

Παραγον x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{4} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1}{2} x=-1$$