Επίλυση frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}-frac{2-sqrt{3}}{2+sqrt{3}}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 3 } }{ 2- \sqrt{ 3 } } - \frac{ 2- \sqrt{ 3 } }{ 2+ \sqrt{ 3 } }$$

Υπολογισμός

$$8\sqrt{3}\approx 13,856406461$$

Βήματα λύσης

Ρητοποιήστε τον παρονομαστή \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Υπολογίστε \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Υψώστε το 2 στο τετράγωνο. Υψώστε το \sqrt{3} στο τετράγωνο.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Αφαιρέστε 3 από 4 για να λάβετε 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Οτιδήποτε διαιρείται με το ένα έχει αποτέλεσμα τον εαυτό του.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Πολλαπλασιάστε 2+\sqrt{3} και 2+\sqrt{3} για να λάβετε \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Ρητοποιήστε τον παρονομαστή \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με 2-\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}$$

Υπολογίστε \left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right). Ο πολλαπλασιασμός μπορεί να μετατραπεί σε διαφορά τετραγώνων χρησιμοποιώντας τον κανόνα: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Υψώστε το 2 στο τετράγωνο. Υψώστε το \sqrt{3} στο τετράγωνο.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}$$

Αφαιρέστε 3 από 4 για να λάβετε 1.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{1}$$

Οτιδήποτε διαιρείται με το ένα έχει αποτέλεσμα τον εαυτό του.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)$$

Πολλαπλασιάστε 2-\sqrt{3} και 2-\sqrt{3} για να λάβετε \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Το τετράγωνο του \sqrt{3} είναι 3.

$$4+4\sqrt{3}+3-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Προσθέστε 4 και 3 για να λάβετε 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)$$

Το τετράγωνο του \sqrt{3} είναι 3.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+3\right)$$

Προσθέστε 4 και 3 για να λάβετε 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(7-4\sqrt{3}\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 7-4\sqrt{3}, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$7+4\sqrt{3}-7-\left(-4\sqrt{3}\right)$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -4\sqrt{3} είναι 4\sqrt{3}.

$$7+4\sqrt{3}-7+4\sqrt{3}$$

Αφαιρέστε 7 από 7 για να λάβετε 0.

$$4\sqrt{3}+4\sqrt{3}$$

Συνδυάστε το 4\sqrt{3} και το 4\sqrt{3} για να λάβετε 8\sqrt{3}.

$$8\sqrt{3}$$