Επίλυση 2/x-3+3/x-2=3

$$\frac{ 2 }{ x-3 } + \frac{ 3 }{ x-2 } =3$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{\sqrt{7} + 10}{3} \approx 4,215250437$$

$$x = \frac{10 - \sqrt{7}}{3} \approx 2,45141623$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 2,3 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-3\right)\left(x-2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το 2.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-3 με το 3.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Συνδυάστε το 2x και το 3x για να λάβετε 5x.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Αφαιρέστε 9 από -4 για να λάβετε -13.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3 με το x-3.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3x-9 με το x-2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Αφαιρέστε 3x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Προσθήκη 15x και στις δύο πλευρές.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

Συνδυάστε το 5x και το 15x για να λάβετε 20x.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Αφαιρέστε 18 και από τις δύο πλευρές.

$$20x-13-3x^{2}-18=0$$

Αφαιρέστε 18 από -13 για να λάβετε -31.

$$20x-31-3x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-3x^{2}+20x-31=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -3, το b με 20 και το c με -31 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Υψώστε το 20 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+12\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 12 επί -31.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-372}}{2\left(-3\right)}$$

Προσθέστε το 400 και το -372.

$$x=\frac{-20±\sqrt{28}}{2\left(-3\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 28.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -3.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -20 και το 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-20}{-6}$$

Διαιρέστε το -20+2\sqrt{7} με το -6.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2\sqrt{7} από -20.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-20}{-6}$$

Διαιρέστε το -20-2\sqrt{7} με το -6.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3} x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 2,3 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-3\right)\left(x-2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το 2.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-3 με το 3.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Συνδυάστε το 2x και το 3x για να λάβετε 5x.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Αφαιρέστε 9 από -4 για να λάβετε -13.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3 με το x-3.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3x-9 με το x-2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Αφαιρέστε 3x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Προσθήκη 15x και στις δύο πλευρές.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

Συνδυάστε το 5x και το 15x για να λάβετε 20x.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Προσθήκη 13 και στις δύο πλευρές.

$$20x-3x^{2}=18+13$$

Προσθέστε 18 και 13 για να λάβετε 31.

$$20x-3x^{2}=31$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+20x=31$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -3.

$$\frac{-3x^{2}+20x}{-3}=\frac{31}{-3}$$

Η διαίρεση με το -3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -3.

$$x^{2}+\frac{20}{-3}x=\frac{31}{-3}$$

Διαιρέστε το 20 με το -3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=\frac{31}{-3}$$

Διαιρέστε το 31 με το -3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{31}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{20}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{10}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{10}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{31}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{10}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{31}{3}+\frac{100}{9}$$

Προσθέστε το -\frac{31}{3} και το \frac{100}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{7}{9}$$

Παραγον x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Προσθέστε \frac{10}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$