Επίλυση 2/x=4x+7/5x^2+1

$$\frac{ 2 }{ x } = \frac{ 4x+7 }{ 5 { x }^{ 2 } +1 }$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με 0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(5x^{2}+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,5x^{2}+1.

$$\left(5x^{2}+1\right)\times 2=x\left(4x+7\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5x^{2}+1 με το 2.

$$10x^{2}+2=x\left(4x+7\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το 4x+7.

$$10x^{2}+2=4x^{2}+7x$$

Αφαιρέστε 4x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$10x^{2}+2-4x^{2}=7x$$

Συνδυάστε το 10x^{2} και το -4x^{2} για να λάβετε 6x^{2}.

$$6x^{2}+2=7x$$

Αφαιρέστε 7x και από τις δύο πλευρές.

$$6x^{2}+2-7x=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$6x^{2}-7x+2=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 6x^{2}+ax+bx+2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-7 ab=6\times 2=12$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι αρνητική, a και b είναι και τα δύο αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -7.

$$a=-4 b=-3$$

Γράψτε πάλι το 6x^{2}-7x+2 ως \left(6x^{2}-4x\right)+\left(-3x+2\right).

$$\left(6x^{2}-4x\right)+\left(-3x+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 2x στην πρώτη και το -1 στη δεύτερη ομάδα.

$$2x\left(3x-2\right)-\left(3x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x-2\right)\left(2x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε 3x-2=0 και 2x-1=0.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{1}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με 0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(5x^{2}+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,5x^{2}+1.

$$\left(5x^{2}+1\right)\times 2=x\left(4x+7\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5x^{2}+1 με το 2.

$$10x^{2}+2=x\left(4x+7\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το 4x+7.

$$10x^{2}+2=4x^{2}+7x$$

Αφαιρέστε 4x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$10x^{2}+2-4x^{2}=7x$$

Συνδυάστε το 10x^{2} και το -4x^{2} για να λάβετε 6x^{2}.

$$6x^{2}+2=7x$$

Αφαιρέστε 7x και από τις δύο πλευρές.

$$6x^{2}+2-7x=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$6x^{2}-7x+2=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 6, το b με -7 και το c με 2 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

Υψώστε το -7 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24\times 2}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 49 και το -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 6}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -7 είναι 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$x=\frac{7±1}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{7±1}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 7 και το 1.

$$x=\frac{8}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{8}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=\frac{2}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{7±1}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 1 από 7.

$$x=\frac{6}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{6}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{1}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με 0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(5x^{2}+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,5x^{2}+1.

$$\left(5x^{2}+1\right)\times 2=x\left(4x+7\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5x^{2}+1 με το 2.

$$10x^{2}+2=x\left(4x+7\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το 4x+7.

$$10x^{2}+2=4x^{2}+7x$$

Αφαιρέστε 4x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$10x^{2}+2-4x^{2}=7x$$

Συνδυάστε το 10x^{2} και το -4x^{2} για να λάβετε 6x^{2}.

$$6x^{2}+2=7x$$

Αφαιρέστε 7x και από τις δύο πλευρές.

$$6x^{2}+2-7x=0$$

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$6x^{2}-7x=-2$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 6.

$$\frac{6x^{2}-7x}{6}=-\frac{2}{6}$$

Η διαίρεση με το 6 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 6.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=-\frac{2}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-2}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=-\frac{1}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{7}{6}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{7}{12}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{7}{12} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{7}{12} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=-\frac{1}{3}+\frac{49}{144}$$

Προσθέστε το -\frac{1}{3} και το \frac{49}{144} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{144}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{144}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{144}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{7}{12}=\frac{1}{12} x-\frac{7}{12}=-\frac{1}{12}$$

Προσθέστε \frac{7}{12} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{1}{2}$$