Επίλυση 10/x^2-2x-8+5/x+2+1=0

$$\frac{ 10 }{ { x }^{ 2 } -2x-8 } + \frac{ 5 }{ x+2 } +1=0$$

Λύση ως προς x

$$x=-6$$

$$x=3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,4 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-4\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}-2x-8,x+2.

$$10+\left(x-4\right)\times 5+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-4 με το 5.

$$10+5x-20+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Αφαιρέστε 20 από 10 για να λάβετε -10.

$$-10+5x+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-4 με το x+2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$-10+5x+x^{2}-2x-8=0$$

Συνδυάστε το 5x και το -2x για να λάβετε 3x.

$$-10+3x+x^{2}-8=0$$

Αφαιρέστε 8 από -10 για να λάβετε -18.

$$-18+3x+x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$x^{2}+3x-18=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}+3x-18 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=3 ab=-18$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -18.

$$-1,18 -2,9 -3,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+18=17 -2+9=7 -3+6=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 3.

$$a=-3 b=6$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-3\right)\left(x+6\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-3=0 και x+6=0.

$$x=3 x=-6$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,4 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-4\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}-2x-8,x+2.

$$10+\left(x-4\right)\times 5+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-4 με το 5.

$$10+5x-20+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Αφαιρέστε 20 από 10 για να λάβετε -10.

$$-10+5x+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-4 με το x+2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$-10+5x+x^{2}-2x-8=0$$

Συνδυάστε το 5x και το -2x για να λάβετε 3x.

$$-10+3x+x^{2}-8=0$$

Αφαιρέστε 8 από -10 για να λάβετε -18.

$$-18+3x+x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$x^{2}+3x-18=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-18. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=3 ab=1\left(-18\right)=-18$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -18.

$$-1,18 -2,9 -3,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+18=17 -2+9=7 -3+6=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 3.

$$a=-3 b=6$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+3x-18 ως \left(x^{2}-3x\right)+\left(6x-18\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(6x-18\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 6 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-3\right)+6\left(x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-3\right)\left(x+6\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-3=0 και x+6=0.

$$x=3 x=-6$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,4 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-4\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}-2x-8,x+2.

$$10+\left(x-4\right)\times 5+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-4 με το 5.

$$10+5x-20+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Αφαιρέστε 20 από 10 για να λάβετε -10.

$$-10+5x+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-4 με το x+2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$-10+5x+x^{2}-2x-8=0$$

Συνδυάστε το 5x και το -2x για να λάβετε 3x.

$$-10+3x+x^{2}-8=0$$

Αφαιρέστε 8 από -10 για να λάβετε -18.

$$-18+3x+x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}+3x-18=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με 3 και το c με -18 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-18\right)}}{2}$$

Υψώστε το 3 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-18\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -18.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+72}}{2}$$

Προσθέστε το 9 και το 72.

$$x=\frac{-3±\sqrt{81}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 81.

$$x=\frac{-3±9}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±9}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -3 και το 9.

$$x=\frac{6}{2}$$

Διαιρέστε το 6 με το 2.

$$x=3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±9}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 9 από -3.

$$x=-\frac{12}{2}$$

Διαιρέστε το -12 με το 2.

$$x=-6$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=3 x=-6$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,4 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-4\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}-2x-8,x+2.

$$10+\left(x-4\right)\times 5+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-4 με το 5.

$$10+5x-20+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Αφαιρέστε 20 από 10 για να λάβετε -10.

$$-10+5x+\left(x-4\right)\left(x+2\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-4 με το x+2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$-10+5x+x^{2}-2x-8=0$$

Συνδυάστε το 5x και το -2x για να λάβετε 3x.

$$-10+3x+x^{2}-8=0$$

Αφαιρέστε 8 από -10 για να λάβετε -18.

$$-18+3x+x^{2}=0$$

Προσθήκη 18 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$3x+x^{2}=18$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+3x=18$$

Διαιρέστε το 3, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{3}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=18+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{3}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=18+\frac{9}{4}$$

Προσθέστε το 18 και το \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{81}{4}$$

Παραγον x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{9}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{9}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{3}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=3 x=-6$$