Επίλυση 1/x-3+18/x^2-9=x/x+3

$$\frac{ 1 }{ x-3 } + \frac{ 18 }{ { x }^{ 2 } -9 } = \frac{ x }{ x+3 }$$

Λύση ως προς x

$$x=7$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -3,3 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-3\right)\left(x+3\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-3,x^{2}-9,x+3.

$$x+3+18=\left(x-3\right)x$$

Προσθέστε 3 και 18 για να λάβετε 21.

$$x+21=\left(x-3\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-3 με το x.

$$x+21=x^{2}-3x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$x+21-x^{2}=-3x$$

Προσθήκη 3x και στις δύο πλευρές.

$$x+21-x^{2}+3x=0$$

Συνδυάστε το x και το 3x για να λάβετε 4x.

$$4x+21-x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-x^{2}+4x+21=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx+21. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=4 ab=-21=-21$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή η a+b είναι θετική, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από την αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -21.

$$-1,21 -3,7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 4.

$$a=7 b=-3$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+4x+21 ως \left(-x^{2}+7x\right)+\left(-3x+21\right).

$$\left(-x^{2}+7x\right)+\left(-3x+21\right)$$

Παραγοντοποιήστε το -x στην πρώτη και το -3 στη δεύτερη ομάδα.

$$-x\left(x-7\right)-3\left(x-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-7\right)\left(-x-3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-7=0 και -x-3=0.

$$x=7 x=-3$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με -3.

$$x=7$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -3,3 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-3\right)\left(x+3\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-3,x^{2}-9,x+3.

$$x+3+18=\left(x-3\right)x$$

Προσθέστε 3 και 18 για να λάβετε 21.

$$x+21=\left(x-3\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-3 με το x.

$$x+21=x^{2}-3x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$x+21-x^{2}=-3x$$

Προσθήκη 3x και στις δύο πλευρές.

$$x+21-x^{2}+3x=0$$

Συνδυάστε το x και το 3x για να λάβετε 4x.

$$4x+21-x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}+4x+21=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με 4 και το c με 21 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το 4 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 21.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+84}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 16 και το 84.

$$x=\frac{-4±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 100.

$$x=\frac{-4±10}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{-4±10}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±10}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -4 και το 10.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Διαιρέστε το 6 με το -2.

$$x=-3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±10}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 10 από -4.

$$x=-\frac{14}{-2}$$

Διαιρέστε το -14 με το -2.

$$x=7$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-3 x=7$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με -3.

$$x=7$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -3,3 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-3\right)\left(x+3\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-3,x^{2}-9,x+3.

$$x+3+18=\left(x-3\right)x$$

Προσθέστε 3 και 18 για να λάβετε 21.

$$x+21=\left(x-3\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-3 με το x.

$$x+21=x^{2}-3x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$x+21-x^{2}=-3x$$

Προσθήκη 3x και στις δύο πλευρές.

$$x+21-x^{2}+3x=0$$

Συνδυάστε το x και το 3x για να λάβετε 4x.

$$4x+21-x^{2}=0$$

Αφαιρέστε 21 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$4x-x^{2}=-21$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+4x=-21$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}+4x}{-1}=-\frac{21}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\frac{4}{-1}x=-\frac{21}{-1}$$

Διαιρέστε το 4 με το -1.

$$x^{2}-4x=-\frac{21}{-1}$$

Διαιρέστε το -21 με το -1.

$$x^{2}-4x=21$$

Διαιρέστε το -4, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -2. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -2 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=21+\left(-2\right)^{2}$$

Υψώστε το -2 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-4x+4=21+4$$

Προσθέστε το 21 και το 4.

$$x^{2}-4x+4=25$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-4x+4. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=25$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Απλοποιήστε.

$$x-2=5 x-2=-5$$

Προσθέστε 2 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=7 x=-3$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με -3.

$$x=7$$