Επίλυση 1/x-1+1/2x+1

$$\frac{ 1 }{ x-1 } + \frac{ 1 }{ 2x+1 }$$

Υπολογισμός

$$\frac{3x}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}$$

Βήματα σύντομης λύσης

Για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε παραστάσεις, αναπτύξτε τις ώστε οι παρονομαστές τους να είναι ίδιοι. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-1 και 2x+1 είναι \left(x-1\right)\left(2x+1\right). Πολλαπλασιάστε το \frac{1}{x-1} επί \frac{2x+1}{2x+1}. Πολλαπλασιάστε το \frac{1}{2x+1} επί \frac{x-1}{x-1}.

$$\frac{2x+1}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}+\frac{x-1}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}$$

Από τη στιγμή που οι αριθμοί \frac{2x+1}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)} και \frac{x-1}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)} έχουν τον ίδιο παρονομαστή, μπορείτε να τους προσθέσετε προσθέτοντας τους αριθμητές τους.

$$\frac{2x+1+x-1}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}$$

Συνδυάστε παρόμοιους όρους στο 2x+1+x-1.

$$\frac{3x}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}$$

Αναπτύξτε το \left(x-1\right)\left(2x+1\right).

$$\frac{3x}{2x^{2}-x-1}$$

Διαφόριση ως προς x

$$-\frac{3\left(2x^{2}+1\right)}{\left(\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\right)^{2}}$$

Βήματα χρήσης του κανόνα παραγώγισης για πηλίκο

Για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε παραστάσεις, αναπτύξτε τις ώστε οι παρονομαστές τους να είναι ίδιοι. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-1 και 2x+1 είναι \left(x-1\right)\left(2x+1\right). Πολλαπλασιάστε το \frac{1}{x-1} επί \frac{2x+1}{2x+1}. Πολλαπλασιάστε το \frac{1}{2x+1} επί \frac{x-1}{x-1}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x+1}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)}+\frac{x-1}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)})$$

Από τη στιγμή που οι αριθμοί \frac{2x+1}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)} και \frac{x-1}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)} έχουν τον ίδιο παρονομαστή, μπορείτε να τους προσθέσετε προσθέτοντας τους αριθμητές τους.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x+1+x-1}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)})$$

Συνδυάστε παρόμοιους όρους στο 2x+1+x-1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3x}{\left(x-1\right)\left(2x+1\right)})$$

Εφαρμόστε την επιμεριστική ιδιότητα πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο του x-1 με κάθε όρο του 2x+1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3x}{2x^{2}+x-2x-1})$$

Συνδυάστε το x και το -2x για να λάβετε -x.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{3x}{2x^{2}-x-1})$$

Για οποιεσδήποτε δύο διαφορίσιμες συναρτήσεις, η παράγωγος του πηλίκου των δύο συναρτήσεων είναι ο παρονομαστής επί την παράγωγο του αριθμητή μείον τον αριθμητή επί την παράγωγο του παρονομαστή, δια του τετραγώνου του παρονομαστή.

$$\frac{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(3x^{1})-3x^{1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x^{2}-x^{1}-1)}{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)^{2}}$$

Η παράγωγος ενός πολυωνύμου είναι το άθροισμα του παραγώγων των όρων του. Η παράγωγος της σταθεράς είναι 0. Η παράγωγος του ax^{n} είναι nax^{n-1}.

$$\frac{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)\times 3x^{1-1}-3x^{1}\left(2\times 2x^{2-1}-x^{1-1}\right)}{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)^{2}}$$

Απλοποιήστε.

$$\frac{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)\times 3x^{0}-3x^{1}\left(4x^{1}-x^{0}\right)}{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)^{2}}$$

Πολλαπλασιάστε το 2x^{2}-x^{1}-1 επί 3x^{0}.

$$\frac{2x^{2}\times 3x^{0}-x^{1}\times 3x^{0}-3x^{0}-3x^{1}\left(4x^{1}-x^{0}\right)}{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)^{2}}$$

Πολλαπλασιάστε το 3x^{1} επί 4x^{1}-x^{0}.

$$\frac{2x^{2}\times 3x^{0}-x^{1}\times 3x^{0}-3x^{0}-\left(3x^{1}\times 4x^{1}+3x^{1}\left(-1\right)x^{0}\right)}{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)^{2}}$$

Για να πολλαπλασιάσετε δυνάμεις με την ίδια βάση, προσθέστε τους εκθέτες τους.

$$\frac{2\times 3x^{2}-3x^{1}-3x^{0}-\left(3\times 4x^{1+1}+3\left(-1\right)x^{1}\right)}{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)^{2}}$$

Απλοποιήστε.

$$\frac{6x^{2}-3x^{1}-3x^{0}-\left(12x^{2}-3x^{1}\right)}{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)^{2}}$$

Συνδυάστε όμοιους όρους.

$$\frac{-6x^{2}-3x^{0}}{\left(2x^{2}-x^{1}-1\right)^{2}}$$

Για κάθε όρο t, t^{1}=t.

$$\frac{-6x^{2}-3x^{0}}{\left(2x^{2}-x-1\right)^{2}}$$

Για κάθε όρο t εκτός 0, t^{0}=1.

$$\frac{-6x^{2}-3}{\left(2x^{2}-x-1\right)^{2}}$$