Επίλυση x-3/x+6+x-2/x-3=x^2/x^2+3x-18

$$\frac { x - 3 } { x + 6 } + \frac { x - 2 } { x - 3 } = \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + 3 x - 18 }$$

Λύση ως προς x

$$x=-1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -6,3 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-3\right)\left(x+6\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+6,x-3,x^{2}+3x-18.

$$\left(x-3\right)\left(x-3\right)+\left(x+6\right)\left(x-2\right)=x^{2}$$

Πολλαπλασιάστε x-3 και x-3 για να λάβετε \left(x-3\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}+\left(x+6\right)\left(x-2\right)=x^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-3\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+\left(x+6\right)\left(x-2\right)=x^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+6 με το x-2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$x^{2}-6x+9+x^{2}+4x-12=x^{2}$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}-6x+9+4x-12=x^{2}$$

Συνδυάστε το -6x και το 4x για να λάβετε -2x.

$$2x^{2}-2x+9-12=x^{2}$$

Αφαιρέστε 12 από 9 για να λάβετε -3.

$$2x^{2}-2x-3=x^{2}$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}-2x-3-x^{2}=0$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}-2x-3=0$$

Για την επίλυση της εξίσωσης, παραγοντοποιήστε την παράσταση x^{2}-2x-3 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-2 ab=-3$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=-3 b=1$$

Η επανεγγραφή της παράστασης παραγοντοποιήθηκε \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που λήφθηκαν.

$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-3=0 και x+1=0.

$$x=3 x=-1$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με 3.

$$x=-1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -6,3 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-3\right)\left(x+6\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+6,x-3,x^{2}+3x-18.

$$\left(x-3\right)\left(x-3\right)+\left(x+6\right)\left(x-2\right)=x^{2}$$

Πολλαπλασιάστε x-3 και x-3 για να λάβετε \left(x-3\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}+\left(x+6\right)\left(x-2\right)=x^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-3\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+\left(x+6\right)\left(x-2\right)=x^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+6 με το x-2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$x^{2}-6x+9+x^{2}+4x-12=x^{2}$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}-6x+9+4x-12=x^{2}$$

Συνδυάστε το -6x και το 4x για να λάβετε -2x.

$$2x^{2}-2x+9-12=x^{2}$$

Αφαιρέστε 12 από 9 για να λάβετε -3.

$$2x^{2}-2x-3=x^{2}$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}-2x-3-x^{2}=0$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}-2x-3=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx-3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-2 ab=1\left(-3\right)=-3$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=-3 b=1$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-2x-3 ως \left(x^{2}-3x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην εξίσωση x^{2}-3x.

$$x\left(x-3\right)+x-3$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε x-3=0 και x+1=0.

$$x=3 x=-1$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με 3.

$$x=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -6,3 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-3\right)\left(x+6\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+6,x-3,x^{2}+3x-18.

$$\left(x-3\right)\left(x-3\right)+\left(x+6\right)\left(x-2\right)=x^{2}$$

Πολλαπλασιάστε x-3 και x-3 για να λάβετε \left(x-3\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}+\left(x+6\right)\left(x-2\right)=x^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-3\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+\left(x+6\right)\left(x-2\right)=x^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+6 με το x-2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$x^{2}-6x+9+x^{2}+4x-12=x^{2}$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}-6x+9+4x-12=x^{2}$$

Συνδυάστε το -6x και το 4x για να λάβετε -2x.

$$2x^{2}-2x+9-12=x^{2}$$

Αφαιρέστε 12 από 9 για να λάβετε -3.

$$2x^{2}-2x-3=x^{2}$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}-2x-3-x^{2}=0$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}-2x-3=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -2 και το c με -3 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-3\right)}}{2}$$

Υψώστε το -2 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-3\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12}}{2}$$

Προσθέστε το 4 και το 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{16}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -2 είναι 2.

$$x=\frac{2±4}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±4}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 2 και το 4.

$$x=\frac{6}{2}$$

Διαιρέστε το 6 με το 2.

$$x=3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±4}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4 από 2.

$$x=-\frac{2}{2}$$

Διαιρέστε το -2 με το 2.

$$x=-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=3 x=-1$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με 3.

$$x=-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -6,3 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-3\right)\left(x+6\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+6,x-3,x^{2}+3x-18.

$$\left(x-3\right)\left(x-3\right)+\left(x+6\right)\left(x-2\right)=x^{2}$$

Πολλαπλασιάστε x-3 και x-3 για να λάβετε \left(x-3\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}+\left(x+6\right)\left(x-2\right)=x^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-3\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+\left(x+6\right)\left(x-2\right)=x^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+6 με το x-2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$x^{2}-6x+9+x^{2}+4x-12=x^{2}$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}-6x+9+4x-12=x^{2}$$

Συνδυάστε το -6x και το 4x για να λάβετε -2x.

$$2x^{2}-2x+9-12=x^{2}$$

Αφαιρέστε 12 από 9 για να λάβετε -3.

$$2x^{2}-2x-3=x^{2}$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}-2x-3-x^{2}=0$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}-2x-3=0$$

Προσθήκη 3 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$x^{2}-2x=3$$

Διαιρέστε το -2, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -1. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-2x+1=3+1$$

Προσθέστε το 3 και το 1.

$$x^{2}-2x+1=4$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-2x+1. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=4$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Απλοποιήστε.

$$x-1=2 x-1=-2$$

Προσθέστε 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=3 x=-1$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με 3.

$$x=-1$$