Επίλυση x-2/x^2-x-6=3/2x+4-x/4-x^2

$$\frac { x - 2 } { x ^ { 2 } - x - 6 } = \frac { 3 } { 2 x + 4 } - \frac { x } { 4 - x ^ { 2 } }$$

Λύση ως προς x

$$x=1$$

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3,333333333$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,2,3 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 2\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}-x-6,2x+4,4-x^{2}.

$$\left(2x-4\right)\left(x-2\right)=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x-4 με το x-2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}-8x+8=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-3 με το x-2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}-8x+8=\left(x^{2}-5x+6\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}-5x+6 με το 3.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-\left(6-2x\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 6-2x με το x.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-\left(6x-2x^{2}\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 6x-2x^{2}, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-6x+2x^{2}$$

Συνδυάστε το -15x και το -6x για να λάβετε -21x.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-21x+18+2x^{2}$$

Συνδυάστε το 3x^{2} και το 2x^{2} για να λάβετε 5x^{2}.

$$2x^{2}-8x+8=5x^{2}-21x+18$$

Αφαιρέστε 5x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}-8x+8-5x^{2}=-21x+18$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το -5x^{2} για να λάβετε -3x^{2}.

$$-3x^{2}-8x+8=-21x+18$$

Προσθήκη 21x και στις δύο πλευρές.

$$-3x^{2}-8x+8+21x=18$$

Συνδυάστε το -8x και το 21x για να λάβετε 13x.

$$-3x^{2}+13x+8=18$$

Αφαιρέστε 18 και από τις δύο πλευρές.

$$-3x^{2}+13x+8-18=0$$

Αφαιρέστε 18 από 8 για να λάβετε -10.

$$-3x^{2}+13x-10=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -3x^{2}+ax+bx-10. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=13 ab=-3\left(-10\right)=30$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Δεδομένου ότι το a+b είναι θετικό, a και b είναι και τα δύο θετικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 13.

$$a=10 b=3$$

Γράψτε πάλι το -3x^{2}+13x-10 ως \left(-3x^{2}+10x\right)+\left(3x-10\right).

$$\left(-3x^{2}+10x\right)+\left(3x-10\right)$$

Παραγοντοποιήστε το -x στην εξίσωση -3x^{2}+10x.

$$-x\left(3x-10\right)+3x-10$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x-10 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x-10\right)\left(-x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε 3x-10=0 και -x+1=0.

$$x=\frac{10}{3} x=1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,2,3 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 2\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}-x-6,2x+4,4-x^{2}.

$$\left(2x-4\right)\left(x-2\right)=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x-4 με το x-2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}-8x+8=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-3 με το x-2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}-8x+8=\left(x^{2}-5x+6\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}-5x+6 με το 3.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-\left(6-2x\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 6-2x με το x.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-\left(6x-2x^{2}\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 6x-2x^{2}, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-6x+2x^{2}$$

Συνδυάστε το -15x και το -6x για να λάβετε -21x.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-21x+18+2x^{2}$$

Συνδυάστε το 3x^{2} και το 2x^{2} για να λάβετε 5x^{2}.

$$2x^{2}-8x+8=5x^{2}-21x+18$$

Αφαιρέστε 5x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}-8x+8-5x^{2}=-21x+18$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το -5x^{2} για να λάβετε -3x^{2}.

$$-3x^{2}-8x+8=-21x+18$$

Προσθήκη 21x και στις δύο πλευρές.

$$-3x^{2}-8x+8+21x=18$$

Συνδυάστε το -8x και το 21x για να λάβετε 13x.

$$-3x^{2}+13x+8=18$$

Αφαιρέστε 18 και από τις δύο πλευρές.

$$-3x^{2}+13x+8-18=0$$

Αφαιρέστε 18 από 8 για να λάβετε -10.

$$-3x^{2}+13x-10=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -3, το b με 13 και το c με -10 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-3\right)\left(-10\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Υψώστε το 13 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-3\right)\left(-10\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -3.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+12\left(-10\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 12 επί -10.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\left(-3\right)}$$

Προσθέστε το 169 και το -120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\left(-3\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 49.

$$x=\frac{-13±7}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -3.

$$x=\frac{-13±7}{-6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-13±7}{-6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -13 και το 7.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Διαιρέστε το -6 με το -6.

$$x=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-13±7}{-6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 7 από -13.

$$x=-\frac{20}{-6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-20}{-6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{10}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=1 x=\frac{10}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,2,3 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 2\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}-x-6,2x+4,4-x^{2}.

$$\left(2x-4\right)\left(x-2\right)=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x-4 με το x-2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}-8x+8=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-3 με το x-2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}-8x+8=\left(x^{2}-5x+6\right)\times 3-\left(6-2x\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}-5x+6 με το 3.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-\left(6-2x\right)x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 6-2x με το x.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-\left(6x-2x^{2}\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 6x-2x^{2}, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-15x+18-6x+2x^{2}$$

Συνδυάστε το -15x και το -6x για να λάβετε -21x.

$$2x^{2}-8x+8=3x^{2}-21x+18+2x^{2}$$

Συνδυάστε το 3x^{2} και το 2x^{2} για να λάβετε 5x^{2}.

$$2x^{2}-8x+8=5x^{2}-21x+18$$

Αφαιρέστε 5x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$2x^{2}-8x+8-5x^{2}=-21x+18$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το -5x^{2} για να λάβετε -3x^{2}.

$$-3x^{2}-8x+8=-21x+18$$

Προσθήκη 21x και στις δύο πλευρές.

$$-3x^{2}-8x+8+21x=18$$

Συνδυάστε το -8x και το 21x για να λάβετε 13x.

$$-3x^{2}+13x+8=18$$

Αφαιρέστε 8 και από τις δύο πλευρές.

$$-3x^{2}+13x=18-8$$

Αφαιρέστε 8 από 18 για να λάβετε 10.

$$-3x^{2}+13x=10$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -3.

$$\frac{-3x^{2}+13x}{-3}=\frac{10}{-3}$$

Η διαίρεση με το -3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -3.

$$x^{2}+\frac{13}{-3}x=\frac{10}{-3}$$

Διαιρέστε το 13 με το -3.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x=\frac{10}{-3}$$

Διαιρέστε το 10 με το -3.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x=-\frac{10}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{13}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{13}{6}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{13}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x+\left(-\frac{13}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{13}{6}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{13}{6} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{169}{36}$$

Προσθέστε το -\frac{10}{3} και το \frac{169}{36} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}=\frac{49}{36}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{13}{6}=\frac{7}{6} x-\frac{13}{6}=-\frac{7}{6}$$

Προσθέστε \frac{13}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{10}{3} x=1$$