Επίλυση x/x^2-2x-5/3x^2-12=2/x

$$\frac { x } { x ^ { 2 } - 2 x } - \frac { 5 } { 3 x ^ { 2 } - 12 } = \frac { 2 } { x }$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2.666666667$$

$$x=3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,0,2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 3x\left(x-2\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}-2x,3x^{2}-12,x.

$$\left(3x+6\right)x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3x+6 με το x.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3x^{2}-12 με το 2.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=6x^{2}-24$$

Αφαιρέστε 6x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+6x-x\times 5-6x^{2}=-24$$

Συνδυάστε το 3x^{2} και το -6x^{2} για να λάβετε -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5=-24$$

Προσθήκη 24 και στις δύο πλευρές.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5+24=0$$

Πολλαπλασιάστε -1 και 5 για να λάβετε -5.

$$-3x^{2}+6x-5x+24=0$$

Συνδυάστε το 6x και το -5x για να λάβετε x.

$$-3x^{2}+x+24=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -3x^{2}+ax+bx+24. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=1 ab=-3\times 24=-72$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή η a+b είναι θετική, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από την αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 1.

$$a=9 b=-8$$

Γράψτε πάλι το -3x^{2}+x+24 ως \left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-8x+24\right).

$$\left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-8x+24\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 3x στην πρώτη και το 8 στη δεύτερη ομάδα.

$$3x\left(-x+3\right)+8\left(-x+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -x+3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-x+3\right)\left(3x+8\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε -x+3=0 και 3x+8=0.

$$x=3 x=-\frac{8}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,0,2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 3x\left(x-2\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}-2x,3x^{2}-12,x.

$$\left(3x+6\right)x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3x+6 με το x.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3x^{2}-12 με το 2.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=6x^{2}-24$$

Αφαιρέστε 6x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+6x-x\times 5-6x^{2}=-24$$

Συνδυάστε το 3x^{2} και το -6x^{2} για να λάβετε -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5=-24$$

Προσθήκη 24 και στις δύο πλευρές.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5+24=0$$

Πολλαπλασιάστε -1 και 5 για να λάβετε -5.

$$-3x^{2}+6x-5x+24=0$$

Συνδυάστε το 6x και το -5x για να λάβετε x.

$$-3x^{2}+x+24=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -3, το b με 1 και το c με 24 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-3\right)\times 24}}{2\left(-3\right)}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-3\right)\times 24}}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+12\times 24}}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 12 επί 24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\left(-3\right)}$$

Προσθέστε το 1 και το 288.

$$x=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\left(-3\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 289.

$$x=\frac{-1±17}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -3.

$$x=\frac{-1±17}{-6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±17}{-6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -1 και το 17.

$$x=\frac{16}{-6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{16}{-6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±17}{-6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 17 από -1.

$$x=-\frac{18}{-6}$$

Διαιρέστε το -18 με το -6.

$$x=3$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{8}{3} x=3$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,0,2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 3x\left(x-2\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}-2x,3x^{2}-12,x.

$$\left(3x+6\right)x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3x+6 με το x.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=\left(3x^{2}-12\right)\times 2$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3x^{2}-12 με το 2.

$$3x^{2}+6x-x\times 5=6x^{2}-24$$

Αφαιρέστε 6x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+6x-x\times 5-6x^{2}=-24$$

Συνδυάστε το 3x^{2} και το -6x^{2} για να λάβετε -3x^{2}.

$$-3x^{2}+6x-x\times 5=-24$$

Πολλαπλασιάστε -1 και 5 για να λάβετε -5.

$$-3x^{2}+6x-5x=-24$$

Συνδυάστε το 6x και το -5x για να λάβετε x.

$$-3x^{2}+x=-24$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -3.

$$\frac{-3x^{2}+x}{-3}=-\frac{24}{-3}$$

Η διαίρεση με το -3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -3.

$$x^{2}+\frac{1}{-3}x=-\frac{24}{-3}$$

Διαιρέστε το 1 με το -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=-\frac{24}{-3}$$

Διαιρέστε το -24 με το -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=8$$

Διαιρέστε το -\frac{1}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{6}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=8+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{6} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=8+\frac{1}{36}$$

Προσθέστε το 8 και το \frac{1}{36}.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{289}{36}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{289}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{17}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{17}{6}$$

Προσθέστε \frac{1}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=3 x=-\frac{8}{3}$$