Επίλυση x/x+3=6/x-3-27-x^2/9-x^2

$$\frac { x } { x + 3 } = \frac { 6 } { x - 3 } - \frac { 27 - x ^ { 2 } } { 9 - x ^ { 2 } }$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -3,3 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-3\right)\left(x+3\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+3,x-3,9-x^{2}.

$$\left(x-3\right)x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-3 με το x.

$$x^{2}-3x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+3 με το 6.

$$x^{2}-3x=6x+18+27-x^{2}$$

Προσθέστε 18 και 27 για να λάβετε 45.

$$x^{2}-3x=6x+45-x^{2}$$

Αφαιρέστε 6x και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-3x-6x=45-x^{2}$$

Συνδυάστε το -3x και το -6x για να λάβετε -9x.

$$x^{2}-9x=45-x^{2}$$

Αφαιρέστε 45 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-9x-45=-x^{2}$$

Προσθήκη x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-9x-45+x^{2}=0$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}-9x-45=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx-45. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-9 ab=2\left(-45\right)=-90$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -9.

$$a=-15 b=6$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}-9x-45 ως \left(2x^{2}-15x\right)+\left(6x-45\right).

$$\left(2x^{2}-15x\right)+\left(6x-45\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(2x-15\right)+3\left(2x-15\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-15 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-15\right)\left(x+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2x-15=0 και x+3=0.

$$x=\frac{15}{2} x=-3$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με -3.

$$x=\frac{15}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -3,3 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-3\right)\left(x+3\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+3,x-3,9-x^{2}.

$$\left(x-3\right)x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-3 με το x.

$$x^{2}-3x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+3 με το 6.

$$x^{2}-3x=6x+18+27-x^{2}$$

Προσθέστε 18 και 27 για να λάβετε 45.

$$x^{2}-3x=6x+45-x^{2}$$

Αφαιρέστε 6x και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-3x-6x=45-x^{2}$$

Συνδυάστε το -3x και το -6x για να λάβετε -9x.

$$x^{2}-9x=45-x^{2}$$

Αφαιρέστε 45 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-9x-45=-x^{2}$$

Προσθήκη x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-9x-45+x^{2}=0$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}-9x-45=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με -9 και το c με -45 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\left(-45\right)}}{2\times 2}$$

Υψώστε το -9 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\left(-45\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\left(-45\right)}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί -45.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 81 και το 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 441.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -9 είναι 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{9±21}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{9±21}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 9 και το 21.

$$x=\frac{30}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{30}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{15}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{9±21}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 21 από 9.

$$x=-\frac{12}{4}$$

Διαιρέστε το -12 με το 4.

$$x=-3$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{15}{2} x=-3$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με -3.

$$x=\frac{15}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -3,3 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-3\right)\left(x+3\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+3,x-3,9-x^{2}.

$$\left(x-3\right)x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-3 με το x.

$$x^{2}-3x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+3 με το 6.

$$x^{2}-3x=6x+18+27-x^{2}$$

Προσθέστε 18 και 27 για να λάβετε 45.

$$x^{2}-3x=6x+45-x^{2}$$

Αφαιρέστε 6x και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-3x-6x=45-x^{2}$$

Συνδυάστε το -3x και το -6x για να λάβετε -9x.

$$x^{2}-9x=45-x^{2}$$

Προσθήκη x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-9x+x^{2}=45$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 2x^{2}.

$$2x^{2}-9x=45$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}-9x}{2}=\frac{45}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=\frac{45}{2}$$

Διαιρέστε το -\frac{9}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{9}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{9}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{45}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{9}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{45}{2}+\frac{81}{16}$$

Προσθέστε το \frac{45}{2} και το \frac{81}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{441}{16}$$

Παραγον x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{21}{4}$$

Προσθέστε \frac{9}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{15}{2} x=-3$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με -3.

$$x=\frac{15}{2}$$