Επίλυση x/x+1+x+1/x=13/6

$$\frac { x } { x + 1 } + \frac { x + 1 } { x } = \frac { 13 } { 6 }$$

Λύση ως προς x

$$x=-3$$

$$x=2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 6x\left(x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+1,x,6.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Πολλαπλασιάστε x και x για να λάβετε x^{2}.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 6x+6 με το x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Συνδυάστε το 6x^{2} και το 6x^{2} για να λάβετε 12x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 13x με το x+1.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

Αφαιρέστε 13x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

Συνδυάστε το 12x^{2} και το -13x^{2} για να λάβετε -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

Αφαιρέστε 13x και από τις δύο πλευρές.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

Συνδυάστε το 12x και το -13x για να λάβετε -x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx+6. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-1 ab=-6=-6$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -6.

$$1,-6 2,-3$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -1.

$$a=2 b=-3$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}-x+6 ως \left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right).

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(-x+2\right)+3\left(-x+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -x+2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-x+2\right)\left(x+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε -x+2=0 και x+3=0.

$$x=2 x=-3$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 6x\left(x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+1,x,6.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Πολλαπλασιάστε x και x για να λάβετε x^{2}.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 6x+6 με το x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Συνδυάστε το 6x^{2} και το 6x^{2} για να λάβετε 12x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 13x με το x+1.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

Αφαιρέστε 13x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

Συνδυάστε το 12x^{2} και το -13x^{2} για να λάβετε -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

Αφαιρέστε 13x και από τις δύο πλευρές.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

Συνδυάστε το 12x και το -13x για να λάβετε -x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με -1 και το c με 6 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+24}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 1 και το 24.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 25.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±5}{2\left(-1\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -1 είναι 1.

$$x=\frac{1±5}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{1±5}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±5}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 1 και το 5.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Διαιρέστε το 6 με το -2.

$$x=-3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±5}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 5 από 1.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Διαιρέστε το -4 με το -2.

$$x=2$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-3 x=2$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 6x\left(x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+1,x,6.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Πολλαπλασιάστε x και x για να λάβετε x^{2}.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 6x+6 με το x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Συνδυάστε το 6x^{2} και το 6x^{2} για να λάβετε 12x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 13x με το x+1.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

Αφαιρέστε 13x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

Συνδυάστε το 12x^{2} και το -13x^{2} για να λάβετε -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

Αφαιρέστε 13x και από τις δύο πλευρές.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

Συνδυάστε το 12x και το -13x για να λάβετε -x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

Αφαιρέστε 6 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$-x^{2}-x=-6$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=-\frac{6}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=-\frac{6}{-1}$$

Διαιρέστε το -1 με το -1.

$$x^{2}+x=-\frac{6}{-1}$$

Διαιρέστε το -6 με το -1.

$$x^{2}+x=6$$

Διαιρέστε το 1, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=6+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=6+\frac{1}{4}$$

Προσθέστε το 6 και το \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{25}{4}$$

Παραγον x^{2}+x+\frac{1}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=2 x=-3$$