Επίλυση x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Λύση ως προς x, y

$$x=14$$

$$y=9$$

Βήματα χρήσης της αντικατάστασης

Μελετήστε την πρώτη εξίσωση. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 21, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 7,3.

$$3x+7y=105$$

Μελετήστε τη δεύτερη εξίσωση. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 14.

$$-x+42y=364$$

Για λύσετε ένα ζεύγος εξισώσεων χρησιμοποιώντας αντικατάσταση, πρώτα λύστε μία από τις εξισώσεις ως προς μία από τις μεταβλητές. Στη συνέχεια, αντικαταστήστε το αποτέλεσμα για αυτή τη μεταβλητή στην άλλη εξίσωση.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Επιλέξτε μία από τις εξισώσεις και λύστε την ως προς x, απομονώνοντας το x στην αριστερή πλευρά του ίσον.

$$3x+7y=105$$

Αφαιρέστε 7y και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x=-7y+105$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{1}{3} επί -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Αντικαταστήστε το x με -\frac{7y}{3}+35 στην άλλη εξίσωση, -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Πολλαπλασιάστε το -1 επί -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Προσθέστε το \frac{7y}{3} και το 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Προσθέστε 35 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με \frac{133}{3}, το οποίο είναι το ίδιο σαν να πολλαπλασιάζατε και τις δύο πλευρές με το αντίστροφο κλάσμα.

$$y=9$$

Αντικαταστήστε το y με 9 στην x=-\frac{7}{3}y+35. Επειδή η εξίσωση που προκύπτει περιέχει μόνο μία μεταβλητή, μπορείτε να τη λύσετε ως προς x απευθείας.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Πολλαπλασιάστε το -\frac{7}{3} επί 9.

$$x=-21+35$$

Προσθέστε το 35 και το -21.

$$x=14$$

Το σύστημα έχει πλέον λυθεί.

$$x=14,y=9$$

Βήματα χρήσης των πινάκων

Μελετήστε την πρώτη εξίσωση. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 21, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 7,3.

$$3x+7y=105$$

Μελετήστε τη δεύτερη εξίσωση. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 14.

$$-x+42y=364$$

Θέστε τις εξισώσεις σε τυπική μορφή και, στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε πίνακες για να λύσετε το σύστημα εξισώσεων.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Γράψτε τις εξισώσεις σε μορφή πίνακα.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε αριστερά την εξίσωση με τον αντίστροφο πίνακα του \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Το γινόμενο ενός πίνακα και το αντίστροφό του είναι ο μοναδιαίος πίνακας.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε τους πίνακες στην αριστερή πλευρά του συμβόλου ισότητας.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Για τη μήτρα 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ο αντίστροφος πίνακας είναι \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), επομένως η εξίσωση πίνακα μπορεί να ξαναγραφεί ως πρόβλημα πολλαπλασιασμού πίνακα.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Κάντε την αριθμητική πράξη.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε τους πίνακες.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Κάντε την αριθμητική πράξη.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Εξαγάγετε τα στοιχεία πίνακα x και y.

$$x=14,y=9$$

Βήματα χρήσης της απαλοιφής

Μελετήστε την πρώτη εξίσωση. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 21, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 7,3.

$$3x+7y=105$$

Μελετήστε τη δεύτερη εξίσωση. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 14.

$$-x+42y=364$$

Για να λύσετε μέσω απαλοιφής, οι συντελεστές μίας από τις μεταβλητές πρέπει να είναι ίδιοι και στις δύο εξισώσεις, έτσι ώστε η μεταβλητή να διαγραφεί όταν η μία εξίσωση αφαιρεθεί από την άλλη.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Για να κάνετε τα 3x και -x ίσα, πολλαπλασιάστε όλους τους όρους σε κάθε πλευρά της πρώτης εξίσωσης με -1 και όλους τους όρους, σε κάθε πλευρά της δεύτερης με 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Απλοποιήστε.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Αφαιρέστε -3x+126y=1092 από -3x-7y=-105 αφαιρώντας τους όμοιους όρους σε κάθε πλευρά του ίσον.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Προσθέστε το -3x και το 3x. Οι όροι -3x και 3x απαλείφονται, αφήνοντας μια εξίσωση με μία μόνο μεταβλητή που μπορεί να επιλυθεί.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Προσθέστε το -7y και το -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Προσθέστε το -105 και το -1092.

$$-133y=-1197$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -133.

$$y=9$$

Αντικαταστήστε το y με 9 στην -x+42y=364. Επειδή η εξίσωση που προκύπτει περιέχει μόνο μία μεταβλητή, μπορείτε να τη λύσετε ως προς x απευθείας.

$$-x+42\times 9=364$$

Πολλαπλασιάστε το 42 επί 9.

$$-x+378=364$$

Αφαιρέστε 378 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-x=-14$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$x=14$$

Το σύστημα έχει πλέον λυθεί.

$$x=14,y=9$$