Επίλυση x/5=y/4;y/3=x/3-1

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

Λύση ως προς x, y

$$x=15$$

$$y=12$$

Βήματα χρήσης της αντικατάστασης

Μελετήστε την πρώτη εξίσωση. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 20, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 5,4.

$$4x=5y$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{1}{4} επί 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Αντικαταστήστε το x με \frac{5y}{4} στην άλλη εξίσωση, -x+y=-3.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

Προσθέστε το -\frac{5y}{4} και το y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές με -4.

$$y=12$$

Αντικαταστήστε το y με 12 στην x=\frac{5}{4}y. Επειδή η εξίσωση που προκύπτει περιέχει μόνο μία μεταβλητή, μπορείτε να τη λύσετε ως προς x απευθείας.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{5}{4} επί 12.

$$x=15$$

Το σύστημα έχει πλέον λυθεί.

$$x=15,y=12$$

Βήματα χρήσης των πινάκων

Μελετήστε την πρώτη εξίσωση. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 20, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 5,4.

$$4x=5y$$

Αφαιρέστε 5y και από τις δύο πλευρές.

$$4x-5y=0$$

Μελετήστε τη δεύτερη εξίσωση. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 3.

$$y=x-3$$

Αφαιρέστε x και από τις δύο πλευρές.

$$y-x=-3$$

Θέστε τις εξισώσεις σε τυπική μορφή και, στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε πίνακες για να λύσετε το σύστημα εξισώσεων.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Γράψτε τις εξισώσεις σε μορφή πίνακα.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε αριστερά την εξίσωση με τον αντίστροφο πίνακα του \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Το γινόμενο ενός πίνακα και το αντίστροφό του είναι ο μοναδιαίος πίνακας.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε τους πίνακες στην αριστερή πλευρά του συμβόλου ισότητας.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Για τη μήτρα 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ο αντίστροφος πίνακας είναι \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), επομένως η εξίσωση πίνακα μπορεί να ξαναγραφεί ως πρόβλημα πολλαπλασιασμού πίνακα.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Κάντε την αριθμητική πράξη.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε τους πίνακες.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Κάντε την αριθμητική πράξη.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Εξαγάγετε τα στοιχεία πίνακα x και y.

$$x=15,y=12$$

Βήματα χρήσης της απαλοιφής

Μελετήστε την πρώτη εξίσωση. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 20, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 5,4.

$$4x=5y$$

Αφαιρέστε 5y και από τις δύο πλευρές.

$$4x-5y=0$$

Μελετήστε τη δεύτερη εξίσωση. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 3.

$$y=x-3$$

Αφαιρέστε x και από τις δύο πλευρές.

$$y-x=-3$$

Για να λύσετε μέσω απαλοιφής, οι συντελεστές μίας από τις μεταβλητές πρέπει να είναι ίδιοι και στις δύο εξισώσεις, έτσι ώστε η μεταβλητή να διαγραφεί όταν η μία εξίσωση αφαιρεθεί από την άλλη.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Για να κάνετε τα 4x και -x ίσα, πολλαπλασιάστε όλους τους όρους σε κάθε πλευρά της πρώτης εξίσωσης με -1 και όλους τους όρους, σε κάθε πλευρά της δεύτερης με 4.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Απλοποιήστε.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

Αφαιρέστε -4x+4y=-12 από -4x+5y=0 αφαιρώντας τους όμοιους όρους σε κάθε πλευρά του ίσον.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

Προσθέστε το -4x και το 4x. Οι όροι -4x και 4x απαλείφονται, αφήνοντας μια εξίσωση με μία μόνο μεταβλητή που μπορεί να επιλυθεί.

$$5y-4y=12$$

Προσθέστε το 5y και το -4y.

$$y=12$$

Αντικαταστήστε το y με 12 στην -x+y=-3. Επειδή η εξίσωση που προκύπτει περιέχει μόνο μία μεταβλητή, μπορείτε να τη λύσετε ως προς x απευθείας.

$$-x+12=-3$$

Αφαιρέστε 12 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$-x=-15$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$x=15$$

Το σύστημα έχει πλέον λυθεί.

$$x=15,y=12$$