Επίλυση x^2-4x-1/(x^2+1)^2=0

$$\frac { x ^ { 2 } - 4 x - 1 } { ( x ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=\sqrt{5}+2\approx 4,236067977$$

$$x=2-\sqrt{5}\approx -0,236067977$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με \left(x^{2}+1\right)^{2}.

$$x^{2}-4x-1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -4 και το c με -1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Υψώστε το -4 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-1\right)}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+4}}{2}$$

Προσθέστε το 16 και το 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{20}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{5}}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -4 είναι 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 4 και το 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+4}{2}$$

Διαιρέστε το 4+2\sqrt{5} με το 2.

$$x=\sqrt{5}+2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{4±2\sqrt{5}}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2\sqrt{5} από 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{5}}{2}$$

Διαιρέστε το 4-2\sqrt{5} με το 2.

$$x=2-\sqrt{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με \left(x^{2}+1\right)^{2}.

$$x^{2}-4x-1=0$$

Προσθήκη 1 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$x^{2}-4x=1$$

Διαιρέστε το -4, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -2. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -2 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=1+\left(-2\right)^{2}$$

Υψώστε το -2 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-4x+4=1+4$$

Προσθέστε το 1 και το 4.

$$x^{2}-4x+4=5$$

Παραγον x^{2}-4x+4. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=5$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Απλοποιήστε.

$$x-2=\sqrt{5} x-2=-\sqrt{5}$$

Προσθέστε 2 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\sqrt{5}+2 x=2-\sqrt{5}$$