Επίλυση x^2/9-4/3x=-2

$$\frac { x ^ { 2 } } { 9 } - \frac { 4 } { 3 } x = - 2$$

Λύση ως προς x

$$x=3\sqrt{2}+6\approx 10,242640687$$

$$x=6-3\sqrt{2}\approx 1,757359313$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

Προσθέστε 2 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=-2-\left(-2\right)$$

Η αφαίρεση του -2 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=0$$

Αφαιρέστε -2 από 0.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x+2=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με \frac{1}{9}, το b με -\frac{4}{3} και το c με 2 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Υψώστε το -\frac{4}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί \frac{1}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-\frac{4}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Πολλαπλασιάστε το -\frac{4}{9} επί 2.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16-8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Προσθέστε το \frac{16}{9} και το -\frac{8}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του \frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -\frac{4}{3} είναι \frac{4}{3}.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί \frac{1}{9}.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το \frac{4}{3} και το \frac{2\sqrt{2}}{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+4}{\frac{2}{9}\times 3}$$

Διαιρέστε το \frac{4+2\sqrt{2}}{3} με το \frac{2}{9}, πολλαπλασιάζοντας το \frac{4+2\sqrt{2}}{3} με τον αντίστροφο του \frac{2}{9}.

$$x=3\sqrt{2}+6$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε \frac{2\sqrt{2}}{3} από \frac{4}{3}.

$$x=\frac{4-2\sqrt{2}}{\frac{2}{9}\times 3}$$

Διαιρέστε το \frac{4-2\sqrt{2}}{3} με το \frac{2}{9}, πολλαπλασιάζοντας το \frac{4-2\sqrt{2}}{3} με τον αντίστροφο του \frac{2}{9}.

$$x=6-3\sqrt{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές με 9.

$$\frac{\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x}{\frac{1}{9}}=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Η διαίρεση με το \frac{1}{9} αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{9}}\right)x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Διαιρέστε το -\frac{4}{3} με το \frac{1}{9}, πολλαπλασιάζοντας το -\frac{4}{3} με τον αντίστροφο του \frac{1}{9}.

$$x^{2}-12x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Διαιρέστε το -2 με το \frac{1}{9}, πολλαπλασιάζοντας το -2 με τον αντίστροφο του \frac{1}{9}.

$$x^{2}-12x=-18$$

Διαιρέστε το -12, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -6. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -6 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-18+\left(-6\right)^{2}$$

Υψώστε το -6 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-12x+36=-18+36$$

Προσθέστε το -18 και το 36.

$$x^{2}-12x+36=18$$

Παραγον x^{2}-12x+36. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=18$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{18}$$

Απλοποιήστε.

$$x-6=3\sqrt{2} x-6=-3\sqrt{2}$$

Προσθέστε 6 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$