Επίλυση x+9/x+16x/x+9=8

$$\frac { x + 9 } { x } + \frac { 16 x } { x + 9 } = 8$$

Λύση ως προς x

$$x=3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -9,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x+9\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Πολλαπλασιάστε x+9 και x+9 για να λάβετε \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Πολλαπλασιάστε x και x για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2}\times 16 για να λάβετε 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 8x με το x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Αφαιρέστε 8x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Συνδυάστε το 17x^{2} και το -8x^{2} για να λάβετε 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Αφαιρέστε 72x και από τις δύο πλευρές.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Συνδυάστε το 18x και το -72x για να λάβετε -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+9. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-6 ab=1\times 9=9$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 9.

$$-1,-9 -3,-3$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -6.

$$a=-3 b=-3$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-6x+9 ως \left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο -3 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-3\right)-3\left(x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-3\right)\left(x-3\right)$$

Επαναδιατυπώστε την ως τετράγωνο διωνύμου.

$$\left(x-3\right)^{2}$$

Για να βρείτε τη λύση της εξίσωσης, λύστε το x-3=0.

$$x=3$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -9,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x+9\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Πολλαπλασιάστε x+9 και x+9 για να λάβετε \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Πολλαπλασιάστε x και x για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2}\times 16 για να λάβετε 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 8x με το x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Αφαιρέστε 8x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Συνδυάστε το 17x^{2} και το -8x^{2} για να λάβετε 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Αφαιρέστε 72x και από τις δύο πλευρές.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Συνδυάστε το 18x και το -72x για να λάβετε -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 9, το b με -54 και το c με 81 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Υψώστε το -54 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 9.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-36\times 81}}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το -36 επί 81.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-2916}}{2\times 9}$$

Προσθέστε το 2916 και το -2916.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 0.

$$x=-\frac{-54}{2\times 9}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -54 είναι 54.

$$x=\frac{54}{2\times 9}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 9.

$$x=\frac{54}{18}$$

Διαιρέστε το 54 με το 18.

$$x=3$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -9,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x+9\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Πολλαπλασιάστε x+9 και x+9 για να λάβετε \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Πολλαπλασιάστε x και x για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Συνδυάστε το x^{2} και το x^{2}\times 16 για να λάβετε 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 8x με το x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Αφαιρέστε 8x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Συνδυάστε το 17x^{2} και το -8x^{2} για να λάβετε 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Αφαιρέστε 72x και από τις δύο πλευρές.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Συνδυάστε το 18x και το -72x για να λάβετε -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Αφαιρέστε 81 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$9x^{2}-54x=-81$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 9.

$$\frac{9x^{2}-54x}{9}=-\frac{81}{9}$$

Η διαίρεση με το 9 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{54}{9}\right)x=-\frac{81}{9}$$

Διαιρέστε το -54 με το 9.

$$x^{2}-6x=-\frac{81}{9}$$

Διαιρέστε το -81 με το 9.

$$x^{2}-6x=-9$$

Διαιρέστε το -6, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -3. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-9+\left(-3\right)^{2}$$

Υψώστε το -3 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-6x+9=-9+9$$

Προσθέστε το -9 και το 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Παραγον x^{2}-6x+9. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Απλοποιήστε.

$$x-3=0 x-3=0$$

Προσθέστε 3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=3 x=3$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί. Οι λύσεις είναι ίδιες.

$$x=3$$