Επίλυση p+5/p^2+p=1/p^2+p-p-6/p+1

$$\frac { p + 5 } { p ^ { 2 } + p } = \frac { 1 } { p ^ { 2 } + p } - \frac { p - 6 } { p + 1 }$$

Λύση ως προς p

$$p=1$$

$$p=4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Η μεταβλητή p δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το p\left(p+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των p^{2}+p,p+1.

$$p+5=1-p\left(p-6\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το p με το p-6.

$$p+5=1-\left(p^{2}-6p\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του p^{2}-6p, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$p+5=1-p^{2}+6p$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές.

$$p+5-1=-p^{2}+6p$$

Αφαιρέστε 1 από 5 για να λάβετε 4.

$$p+4=-p^{2}+6p$$

Προσθήκη p^{2} και στις δύο πλευρές.

$$p+4+p^{2}=6p$$

Αφαιρέστε 6p και από τις δύο πλευρές.

$$p+4+p^{2}-6p=0$$

Συνδυάστε το p και το -6p για να λάβετε -5p.

$$-5p+4+p^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$p^{2}-5p+4=0$$

Για την επίλυση της εξίσωσης, παραγοντοποιήστε την παράσταση p^{2}-5p+4 χρησιμοποιώντας τον τύπο p^{2}+\left(a+b\right)p+ab=\left(p+a\right)\left(p+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-5 ab=4$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι αρνητική, a και b είναι και τα δύο αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -5.

$$a=-4 b=-1$$

Η επανεγγραφή της παράστασης παραγοντοποιήθηκε \left(p+a\right)\left(p+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που λήφθηκαν.

$$\left(p-4\right)\left(p-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε p-4=0 και p-1=0.

$$p=4 p=1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή p δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το p\left(p+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των p^{2}+p,p+1.

$$p+5=1-p\left(p-6\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το p με το p-6.

$$p+5=1-\left(p^{2}-6p\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του p^{2}-6p, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$p+5=1-p^{2}+6p$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές.

$$p+5-1=-p^{2}+6p$$

Αφαιρέστε 1 από 5 για να λάβετε 4.

$$p+4=-p^{2}+6p$$

Προσθήκη p^{2} και στις δύο πλευρές.

$$p+4+p^{2}=6p$$

Αφαιρέστε 6p και από τις δύο πλευρές.

$$p+4+p^{2}-6p=0$$

Συνδυάστε το p και το -6p για να λάβετε -5p.

$$-5p+4+p^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$p^{2}-5p+4=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως p^{2}+ap+bp+4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-5 ab=1\times 4=4$$

Δεδομένου ότι η ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι αρνητική, a και b είναι και τα δύο αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -5.

$$a=-4 b=-1$$

Γράψτε πάλι το p^{2}-5p+4 ως \left(p^{2}-4p\right)+\left(-p+4\right).

$$\left(p^{2}-4p\right)+\left(-p+4\right)$$

Παραγοντοποιήστε το p στην πρώτη και το -1 στη δεύτερη ομάδα.

$$p\left(p-4\right)-\left(p-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο p-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(p-4\right)\left(p-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε p-4=0 και p-1=0.

$$p=4 p=1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή p δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το p\left(p+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των p^{2}+p,p+1.

$$p+5=1-p\left(p-6\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το p με το p-6.

$$p+5=1-\left(p^{2}-6p\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του p^{2}-6p, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$p+5=1-p^{2}+6p$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές.

$$p+5-1=-p^{2}+6p$$

Αφαιρέστε 1 από 5 για να λάβετε 4.

$$p+4=-p^{2}+6p$$

Προσθήκη p^{2} και στις δύο πλευρές.

$$p+4+p^{2}=6p$$

Αφαιρέστε 6p και από τις δύο πλευρές.

$$p+4+p^{2}-6p=0$$

Συνδυάστε το p και το -6p για να λάβετε -5p.

$$-5p+4+p^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$p^{2}-5p+4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -5 και το c με 4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2}$$

Υψώστε το -5 στο τετράγωνο.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2}$$

Προσθέστε το 25 και το -16.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 9.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±3}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -5 είναι 5.

$$p=\frac{5±3}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση p=\frac{5±3}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 5 και το 3.

$$p=\frac{8}{2}$$

Διαιρέστε το 8 με το 2.

$$p=4$$

Λύστε τώρα την εξίσωση p=\frac{5±3}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3 από 5.

$$p=\frac{2}{2}$$

Διαιρέστε το 2 με το 2.

$$p=1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$p=4 p=1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή p δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το p\left(p+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των p^{2}+p,p+1.

$$p+5=1-p\left(p-6\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το p με το p-6.

$$p+5=1-\left(p^{2}-6p\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του p^{2}-6p, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$p+5=1-p^{2}+6p$$

Προσθήκη p^{2} και στις δύο πλευρές.

$$p+5+p^{2}=1+6p$$

Αφαιρέστε 6p και από τις δύο πλευρές.

$$p+5+p^{2}-6p=1$$

Συνδυάστε το p και το -6p για να λάβετε -5p.

$$-5p+5+p^{2}=1$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές.

$$-5p+p^{2}=1-5$$

Αφαιρέστε 5 από 1 για να λάβετε -4.

$$-5p+p^{2}=-4$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$p^{2}-5p=-4$$

Διαιρέστε το -5, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{5}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{5}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$p^{2}-5p+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{5}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$p^{2}-5p+\frac{25}{4}=-4+\frac{25}{4}$$

Προσθέστε το -4 και το \frac{25}{4}.

$$p^{2}-5p+\frac{25}{4}=\frac{9}{4}$$

Παραγοντοποιήστε το p^{2}-5p+\frac{25}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(p-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$p-\frac{5}{2}=\frac{3}{2} p-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}$$

Προσθέστε \frac{5}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$p=4 p=1$$