Επίλυση m^2/4+2m-1=29/4

$$\frac { m ^ { 2 } } { 4 } + 2 m - 1 = \frac { 29 } { 4 }$$

Λύση ως προς m

$$m=-11$$

$$m=3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 4.

$$m^{2}+8m-4=29$$

Αφαιρέστε 29 και από τις δύο πλευρές.

$$m^{2}+8m-4-29=0$$

Αφαιρέστε 29 από -4 για να λάβετε -33.

$$m^{2}+8m-33=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε m^{2}+8m-33 χρησιμοποιώντας τον τύπο m^{2}+\left(a+b\right)m+ab=\left(m+a\right)\left(m+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=8 ab=-33$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -33.

$$-1,33 -3,11$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+33=32 -3+11=8$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 8.

$$a=-3 b=11$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(m+a\right)\left(m+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(m-3\right)\left(m+11\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε m-3=0 και m+11=0.

$$m=3 m=-11$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 4.

$$m^{2}+8m-4=29$$

Αφαιρέστε 29 και από τις δύο πλευρές.

$$m^{2}+8m-4-29=0$$

Αφαιρέστε 29 από -4 για να λάβετε -33.

$$m^{2}+8m-33=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως m^{2}+am+bm-33. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=8 ab=1\left(-33\right)=-33$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -33.

$$-1,33 -3,11$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+33=32 -3+11=8$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 8.

$$a=-3 b=11$$

Γράψτε πάλι το m^{2}+8m-33 ως \left(m^{2}-3m\right)+\left(11m-33\right).

$$\left(m^{2}-3m\right)+\left(11m-33\right)$$

Παραγοντοποιήστε m στο πρώτο και στο 11 της δεύτερης ομάδας.

$$m\left(m-3\right)+11\left(m-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο m-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(m-3\right)\left(m+11\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε m-3=0 και m+11=0.

$$m=3 m=-11$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$\frac{1}{4}m^{2}+2m-1=\frac{29}{4}$$

Αφαιρέστε \frac{29}{4} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\frac{1}{4}m^{2}+2m-1-\frac{29}{4}=\frac{29}{4}-\frac{29}{4}$$

Η αφαίρεση του \frac{29}{4} από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$\frac{1}{4}m^{2}+2m-1-\frac{29}{4}=0$$

Αφαιρέστε \frac{29}{4} από -1.

$$\frac{1}{4}m^{2}+2m-\frac{33}{4}=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με \frac{1}{4}, το b με 2 και το c με -\frac{33}{4} στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$m=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times \frac{1}{4}\left(-\frac{33}{4}\right)}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Υψώστε το 2 στο τετράγωνο.

$$m=\frac{-2±\sqrt{4-4\times \frac{1}{4}\left(-\frac{33}{4}\right)}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί \frac{1}{4}.

$$m=\frac{-2±\sqrt{4-\left(-\frac{33}{4}\right)}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Πολλαπλασιάστε το -1 επί -\frac{33}{4}.

$$m=\frac{-2±\sqrt{4+\frac{33}{4}}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Προσθέστε το 4 και το \frac{33}{4}.

$$m=\frac{-2±\sqrt{\frac{49}{4}}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του \frac{49}{4}.

$$m=\frac{-2±\frac{7}{2}}{2\times \frac{1}{4}}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί \frac{1}{4}.

$$m=\frac{-2±\frac{7}{2}}{\frac{1}{2}}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση m=\frac{-2±\frac{7}{2}}{\frac{1}{2}} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -2 και το \frac{7}{2}.

$$m=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}$$

Διαιρέστε το \frac{3}{2} με το \frac{1}{2}, πολλαπλασιάζοντας το \frac{3}{2} με τον αντίστροφο του \frac{1}{2}.

$$m=3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση m=\frac{-2±\frac{7}{2}}{\frac{1}{2}} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε \frac{7}{2} από -2.

$$m=-\frac{\frac{11}{2}}{\frac{1}{2}}$$

Διαιρέστε το -\frac{11}{2} με το \frac{1}{2}, πολλαπλασιάζοντας το -\frac{11}{2} με τον αντίστροφο του \frac{1}{2}.

$$m=-11$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$m=3 m=-11$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{4}m^{2}+2m-1=\frac{29}{4}$$

Προσθέστε 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\frac{1}{4}m^{2}+2m-1-\left(-1\right)=\frac{29}{4}-\left(-1\right)$$

Η αφαίρεση του -1 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$\frac{1}{4}m^{2}+2m=\frac{29}{4}-\left(-1\right)$$

Αφαιρέστε -1 από \frac{29}{4}.

$$\frac{1}{4}m^{2}+2m=\frac{33}{4}$$

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{\frac{1}{4}m^{2}+2m}{\frac{1}{4}}=\frac{\frac{33}{4}}{\frac{1}{4}}$$

Η διαίρεση με το \frac{1}{4} αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το \frac{1}{4}.

$$m^{2}+\frac{2}{\frac{1}{4}}m=\frac{\frac{33}{4}}{\frac{1}{4}}$$

Διαιρέστε το 2 με το \frac{1}{4}, πολλαπλασιάζοντας το 2 με τον αντίστροφο του \frac{1}{4}.

$$m^{2}+8m=\frac{\frac{33}{4}}{\frac{1}{4}}$$

Διαιρέστε το \frac{33}{4} με το \frac{1}{4}, πολλαπλασιάζοντας το \frac{33}{4} με τον αντίστροφο του \frac{1}{4}.

$$m^{2}+8m=33$$

Διαιρέστε το 8, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 4. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$m^{2}+8m+4^{2}=33+4^{2}$$

Υψώστε το 4 στο τετράγωνο.

$$m^{2}+8m+16=33+16$$

Προσθέστε το 33 και το 16.

$$m^{2}+8m+16=49$$

Παραγον m^{2}+8m+16. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(m+4\right)^{2}=49$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(m+4\right)^{2}}=\sqrt{49}$$

Απλοποιήστε.

$$m+4=7 m+4=-7$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$m=3 m=-11$$