Επίλυση f/11=g/33text{siendo}f+g=40

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } \text { siendo } f + g = 40$$

Λύση ως προς f, g

$$f=10$$

$$g=30$$

Βήματα χρήσης της αντικατάστασης

Μελετήστε την πρώτη εξίσωση. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 33, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 11,33.

$$3f=g$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$f=\frac{1}{3}g$$

Αντικαταστήστε το f με \frac{g}{3} στην άλλη εξίσωση, f+g=40.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

Προσθέστε το \frac{g}{3} και το g.

$$\frac{4}{3}g=40$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με \frac{4}{3}, το οποίο είναι το ίδιο σαν να πολλαπλασιάζατε και τις δύο πλευρές με το αντίστροφο κλάσμα.

$$g=30$$

Αντικαταστήστε το g με 30 στην f=\frac{1}{3}g. Επειδή η εξίσωση που προκύπτει περιέχει μόνο μία μεταβλητή, μπορείτε να τη λύσετε ως προς f απευθείας.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{1}{3} επί 30.

$$f=10$$

Το σύστημα έχει πλέον λυθεί.

$$f=10,g=30$$

Βήματα χρήσης των πινάκων

Μελετήστε την πρώτη εξίσωση. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 33, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 11,33.

$$3f=g$$

Αφαιρέστε g και από τις δύο πλευρές.

$$3f-g=0$$

Θέστε τις εξισώσεις σε τυπική μορφή και, στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε πίνακες για να λύσετε το σύστημα εξισώσεων.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Γράψτε τις εξισώσεις σε μορφή πίνακα.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε αριστερά την εξίσωση με τον αντίστροφο πίνακα του \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Το γινόμενο ενός πίνακα και το αντίστροφό του είναι ο μοναδιαίος πίνακας.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε τους πίνακες στην αριστερή πλευρά του συμβόλου ισότητας.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Για τη μήτρα 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ο αντίστροφος πίνακας είναι \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), επομένως η εξίσωση πίνακα μπορεί να ξαναγραφεί ως πρόβλημα πολλαπλασιασμού πίνακα.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Κάντε την αριθμητική πράξη.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε τους πίνακες.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

Κάντε την αριθμητική πράξη.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Εξαγάγετε τα στοιχεία πίνακα f και g.

$$f=10,g=30$$

Βήματα χρήσης της απαλοιφής

Μελετήστε την πρώτη εξίσωση. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 33, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 11,33.

$$3f=g$$

Αφαιρέστε g και από τις δύο πλευρές.

$$3f-g=0$$

Για να λύσετε μέσω απαλοιφής, οι συντελεστές μίας από τις μεταβλητές πρέπει να είναι ίδιοι και στις δύο εξισώσεις, έτσι ώστε η μεταβλητή να διαγραφεί όταν η μία εξίσωση αφαιρεθεί από την άλλη.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Για να κάνετε τα 3f και f ίσα, πολλαπλασιάστε όλους τους όρους σε κάθε πλευρά της πρώτης εξίσωσης με 1 και όλους τους όρους, σε κάθε πλευρά της δεύτερης με 3.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

Απλοποιήστε.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

Αφαιρέστε 3f+3g=120 από 3f-g=0 αφαιρώντας τους όμοιους όρους σε κάθε πλευρά του ίσον.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

Προσθέστε το 3f και το -3f. Οι όροι 3f και -3f απαλείφονται, αφήνοντας μια εξίσωση με μία μόνο μεταβλητή που μπορεί να επιλυθεί.

$$-g-3g=-120$$

Προσθέστε το -g και το -3g.

$$-4g=-120$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -4.

$$g=30$$

Αντικαταστήστε το g με 30 στην f+g=40. Επειδή η εξίσωση που προκύπτει περιέχει μόνο μία μεταβλητή, μπορείτε να τη λύσετε ως προς f απευθείας.

$$f+30=40$$

Αφαιρέστε 30 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$f=10$$

Το σύστημα έχει πλέον λυθεί.

$$f=10,g=30$$