Επίλυση 75/x=75/x+15+1/4

$$\frac { 75 } { x } = \frac { 75 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

Λύση ως προς x

$$x=-75$$

$$x=60$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -15,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 4x\left(x+15\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4x+60 με το 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Πολλαπλασιάστε 4 και 75 για να λάβετε 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Πολλαπλασιάστε 4 και \frac{1}{4} για να λάβετε 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Συνδυάστε το 300x και το 15x για να λάβετε 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Αφαιρέστε 315x και από τις δύο πλευρές.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Συνδυάστε το 300x και το -315x για να λάβετε -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx+4500. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-15 ab=-4500=-4500$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -4500.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -15.

$$a=60 b=-75$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}-15x+4500 ως \left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right).

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην πρώτη και το 75 στη δεύτερη ομάδα.

$$x\left(-x+60\right)+75\left(-x+60\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -x+60 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-x+60\right)\left(x+75\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε -x+60=0 και x+75=0.

$$x=60 x=-75$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -15,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 4x\left(x+15\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4x+60 με το 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Πολλαπλασιάστε 4 και 75 για να λάβετε 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Πολλαπλασιάστε 4 και \frac{1}{4} για να λάβετε 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Συνδυάστε το 300x και το 15x για να λάβετε 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Αφαιρέστε 315x και από τις δύο πλευρές.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Συνδυάστε το 300x και το -315x για να λάβετε -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με -15 και το c με 4500 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το -15 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 4500.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+18000}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 225 και το 18000.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{18225}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 18225.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±135}{2\left(-1\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -15 είναι 15.

$$x=\frac{15±135}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{15±135}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{15±135}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 15 και το 135.

$$x=\frac{150}{-2}$$

Διαιρέστε το 150 με το -2.

$$x=-75$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{15±135}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 135 από 15.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

Διαιρέστε το -120 με το -2.

$$x=60$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-75 x=60$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -15,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 4x\left(x+15\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4x+60 με το 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Πολλαπλασιάστε 4 και 75 για να λάβετε 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Πολλαπλασιάστε 4 και \frac{1}{4} για να λάβετε 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Συνδυάστε το 300x και το 15x για να λάβετε 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Αφαιρέστε 315x και από τις δύο πλευρές.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Συνδυάστε το 300x και το -315x για να λάβετε -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Αφαιρέστε 4500 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$-15x-x^{2}=-4500$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-15x=-4500$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{4500}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{4500}{-1}$$

Διαιρέστε το -15 με το -1.

$$x^{2}+15x=-\frac{4500}{-1}$$

Διαιρέστε το -4500 με το -1.

$$x^{2}+15x=4500$$

Διαιρέστε το 15, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{15}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{15}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=4500+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{15}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=4500+\frac{225}{4}$$

Προσθέστε το 4500 και το \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{18225}{4}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}+15x+\frac{225}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{18225}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{135}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{135}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{15}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=60 x=-75$$