Επίλυση 7/x-3-10/x-2-6/x-1=0

$$\frac { 7 } { x - 3 } - \frac { 10 } { x - 2 } - \frac { 6 } { x - 1 } = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=4$$

$$x = \frac{13}{9} = 1\frac{4}{9} \approx 1,444444444$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 1,2,3 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-3,x-2,x-1.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\times 7-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το x-1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$\left(x^{2}-3x+2\right)\times 7-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}-3x+2 με το 7.

$$7x^{2}-21x+14-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-3 με το x-1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$7x^{2}-21x+14-\left(x^{2}-4x+3\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}-4x+3 με το 10.

$$7x^{2}-21x+14-\left(10x^{2}-40x+30\right)-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 10x^{2}-40x+30, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$7x^{2}-21x+14-10x^{2}+40x-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Συνδυάστε το 7x^{2} και το -10x^{2} για να λάβετε -3x^{2}.

$$-3x^{2}-21x+14+40x-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Συνδυάστε το -21x και το 40x για να λάβετε 19x.

$$-3x^{2}+19x+14-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Αφαιρέστε 30 από 14 για να λάβετε -16.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-3 με το x-2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(x^{2}-5x+6\right)\times 6=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}-5x+6 με το 6.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(6x^{2}-30x+36\right)=0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 6x^{2}-30x+36, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$-3x^{2}+19x-16-6x^{2}+30x-36=0$$

Συνδυάστε το -3x^{2} και το -6x^{2} για να λάβετε -9x^{2}.

$$-9x^{2}+19x-16+30x-36=0$$

Συνδυάστε το 19x και το 30x για να λάβετε 49x.

$$-9x^{2}+49x-16-36=0$$

Αφαιρέστε 36 από -16 για να λάβετε -52.

$$-9x^{2}+49x-52=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -9x^{2}+ax+bx-52. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=49 ab=-9\left(-52\right)=468$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 468.

$$1,468 2,234 3,156 4,117 6,78 9,52 12,39 13,36 18,26$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+468=469 2+234=236 3+156=159 4+117=121 6+78=84 9+52=61 12+39=51 13+36=49 18+26=44$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 49.

$$a=36 b=13$$

Γράψτε πάλι το -9x^{2}+49x-52 ως \left(-9x^{2}+36x\right)+\left(13x-52\right).

$$\left(-9x^{2}+36x\right)+\left(13x-52\right)$$

Παραγοντοποιήστε 9x στο πρώτο και στο -13 της δεύτερης ομάδας.

$$9x\left(-x+4\right)-13\left(-x+4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -x+4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-x+4\right)\left(9x-13\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε -x+4=0 και 9x-13=0.

$$x=4 x=\frac{13}{9}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 1,2,3 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-3,x-2,x-1.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\times 7-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το x-1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$\left(x^{2}-3x+2\right)\times 7-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}-3x+2 με το 7.

$$7x^{2}-21x+14-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-3 με το x-1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$7x^{2}-21x+14-\left(x^{2}-4x+3\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}-4x+3 με το 10.

$$7x^{2}-21x+14-\left(10x^{2}-40x+30\right)-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 10x^{2}-40x+30, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$7x^{2}-21x+14-10x^{2}+40x-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Συνδυάστε το 7x^{2} και το -10x^{2} για να λάβετε -3x^{2}.

$$-3x^{2}-21x+14+40x-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Συνδυάστε το -21x και το 40x για να λάβετε 19x.

$$-3x^{2}+19x+14-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Αφαιρέστε 30 από 14 για να λάβετε -16.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-3 με το x-2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(x^{2}-5x+6\right)\times 6=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}-5x+6 με το 6.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(6x^{2}-30x+36\right)=0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 6x^{2}-30x+36, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$-3x^{2}+19x-16-6x^{2}+30x-36=0$$

Συνδυάστε το -3x^{2} και το -6x^{2} για να λάβετε -9x^{2}.

$$-9x^{2}+19x-16+30x-36=0$$

Συνδυάστε το 19x και το 30x για να λάβετε 49x.

$$-9x^{2}+49x-16-36=0$$

Αφαιρέστε 36 από -16 για να λάβετε -52.

$$-9x^{2}+49x-52=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -9, το b με 49 και το c με -52 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-49±\sqrt{49^{2}-4\left(-9\right)\left(-52\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Υψώστε το 49 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-49±\sqrt{2401-4\left(-9\right)\left(-52\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -9.

$$x=\frac{-49±\sqrt{2401+36\left(-52\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 36 επί -52.

$$x=\frac{-49±\sqrt{2401-1872}}{2\left(-9\right)}$$

Προσθέστε το 2401 και το -1872.

$$x=\frac{-49±\sqrt{529}}{2\left(-9\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 529.

$$x=\frac{-49±23}{2\left(-9\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -9.

$$x=\frac{-49±23}{-18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-49±23}{-18} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -49 και το 23.

$$x=-\frac{26}{-18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-26}{-18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{13}{9}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-49±23}{-18} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 23 από -49.

$$x=-\frac{72}{-18}$$

Διαιρέστε το -72 με το -18.

$$x=4$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{13}{9} x=4$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 1,2,3 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x-1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-3,x-2,x-1.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\times 7-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το x-1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$\left(x^{2}-3x+2\right)\times 7-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}-3x+2 με το 7.

$$7x^{2}-21x+14-\left(x-3\right)\left(x-1\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-3 με το x-1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$7x^{2}-21x+14-\left(x^{2}-4x+3\right)\times 10-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}-4x+3 με το 10.

$$7x^{2}-21x+14-\left(10x^{2}-40x+30\right)-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 10x^{2}-40x+30, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$7x^{2}-21x+14-10x^{2}+40x-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Συνδυάστε το 7x^{2} και το -10x^{2} για να λάβετε -3x^{2}.

$$-3x^{2}-21x+14+40x-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Συνδυάστε το -21x και το 40x για να λάβετε 19x.

$$-3x^{2}+19x+14-30-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Αφαιρέστε 30 από 14 για να λάβετε -16.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(x-3\right)\left(x-2\right)\times 6=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-3 με το x-2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(x^{2}-5x+6\right)\times 6=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}-5x+6 με το 6.

$$-3x^{2}+19x-16-\left(6x^{2}-30x+36\right)=0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 6x^{2}-30x+36, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$-3x^{2}+19x-16-6x^{2}+30x-36=0$$

Συνδυάστε το -3x^{2} και το -6x^{2} για να λάβετε -9x^{2}.

$$-9x^{2}+19x-16+30x-36=0$$

Συνδυάστε το 19x και το 30x για να λάβετε 49x.

$$-9x^{2}+49x-16-36=0$$

Αφαιρέστε 36 από -16 για να λάβετε -52.

$$-9x^{2}+49x-52=0$$

Προσθήκη 52 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$-9x^{2}+49x=52$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -9.

$$\frac{-9x^{2}+49x}{-9}=\frac{52}{-9}$$

Η διαίρεση με το -9 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -9.

$$x^{2}+\frac{49}{-9}x=\frac{52}{-9}$$

Διαιρέστε το 49 με το -9.

$$x^{2}-\frac{49}{9}x=\frac{52}{-9}$$

Διαιρέστε το 52 με το -9.

$$x^{2}-\frac{49}{9}x=-\frac{52}{9}$$

Διαιρέστε το -\frac{49}{9}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{49}{18}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{49}{18} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{49}{9}x+\left(-\frac{49}{18}\right)^{2}=-\frac{52}{9}+\left(-\frac{49}{18}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{49}{18} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{49}{9}x+\frac{2401}{324}=-\frac{52}{9}+\frac{2401}{324}$$

Προσθέστε το -\frac{52}{9} και το \frac{2401}{324} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{49}{9}x+\frac{2401}{324}=\frac{529}{324}$$

Παραγον x^{2}-\frac{49}{9}x+\frac{2401}{324}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{49}{18}\right)^{2}=\frac{529}{324}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{49}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{324}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{49}{18}=\frac{23}{18} x-\frac{49}{18}=-\frac{23}{18}$$

Προσθέστε \frac{49}{18} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=4 x=\frac{13}{9}$$