Επίλυση 6x/x^2-1-5/1-x=x+4/x+1

$$\frac { 6 x } { x ^ { 2 } - 1 } - \frac { 5 } { 1 - x } = \frac { x + 4 } { x + 1 }$$

Λύση ως προς x

$$x=9$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,1 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-1\right)\left(x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}-1,1-x,x+1.

$$6x-\left(-\left(1+x\right)\times 5\right)=\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Πολλαπλασιάστε -1 και 5 για να λάβετε -5.

$$6x-\left(-5\left(1+x\right)\right)=\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -5 με το 1+x.

$$6x-\left(-5-5x\right)=\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του -5-5x, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$6x+5+5x=\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Συνδυάστε το 6x και το 5x για να λάβετε 11x.

$$11x+5=\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-1 με το x+4 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$11x+5=x^{2}+3x-4$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$11x+5-x^{2}=3x-4$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$11x+5-x^{2}-3x=-4$$

Συνδυάστε το 11x και το -3x για να λάβετε 8x.

$$8x+5-x^{2}=-4$$

Προσθήκη 4 και στις δύο πλευρές.

$$8x+5-x^{2}+4=0$$

Προσθέστε 5 και 4 για να λάβετε 9.

$$8x+9-x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-x^{2}+8x+9=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx+9. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=8 ab=-9=-9$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -9.

$$-1,9 -3,3$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+9=8 -3+3=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 8.

$$a=9 b=-1$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+8x+9 ως \left(-x^{2}+9x\right)+\left(-x+9\right).

$$\left(-x^{2}+9x\right)+\left(-x+9\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(x-9\right)-\left(x-9\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-9 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-9\right)\left(-x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-9=0 και -x-1=0.

$$x=9 x=-1$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με -1.

$$x=9$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,1 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-1\right)\left(x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}-1,1-x,x+1.

$$6x-\left(-\left(1+x\right)\times 5\right)=\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Πολλαπλασιάστε -1 και 5 για να λάβετε -5.

$$6x-\left(-5\left(1+x\right)\right)=\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -5 με το 1+x.

$$6x-\left(-5-5x\right)=\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του -5-5x, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$6x+5+5x=\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Συνδυάστε το 6x και το 5x για να λάβετε 11x.

$$11x+5=\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-1 με το x+4 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$11x+5=x^{2}+3x-4$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$11x+5-x^{2}=3x-4$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$11x+5-x^{2}-3x=-4$$

Συνδυάστε το 11x και το -3x για να λάβετε 8x.

$$8x+5-x^{2}=-4$$

Προσθήκη 4 και στις δύο πλευρές.

$$8x+5-x^{2}+4=0$$

Προσθέστε 5 και 4 για να λάβετε 9.

$$8x+9-x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}+8x+9=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με 8 και το c με 9 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-1\right)\times 9}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το 8 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-1\right)\times 9}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+4\times 9}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 9.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+36}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 64 και το 36.

$$x=\frac{-8±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 100.

$$x=\frac{-8±10}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{-8±10}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-8±10}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -8 και το 10.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Διαιρέστε το 2 με το -2.

$$x=-1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-8±10}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 10 από -8.

$$x=-\frac{18}{-2}$$

Διαιρέστε το -18 με το -2.

$$x=9$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-1 x=9$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με -1.

$$x=9$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,1 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-1\right)\left(x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}-1,1-x,x+1.

$$6x-\left(-\left(1+x\right)\times 5\right)=\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Πολλαπλασιάστε -1 και 5 για να λάβετε -5.

$$6x-\left(-5\left(1+x\right)\right)=\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -5 με το 1+x.

$$6x-\left(-5-5x\right)=\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του -5-5x, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$6x+5+5x=\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Συνδυάστε το 6x και το 5x για να λάβετε 11x.

$$11x+5=\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-1 με το x+4 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$11x+5=x^{2}+3x-4$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$11x+5-x^{2}=3x-4$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$11x+5-x^{2}-3x=-4$$

Συνδυάστε το 11x και το -3x για να λάβετε 8x.

$$8x+5-x^{2}=-4$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές.

$$8x-x^{2}=-4-5$$

Αφαιρέστε 5 από -4 για να λάβετε -9.

$$8x-x^{2}=-9$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+8x=-9$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}+8x}{-1}=-\frac{9}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\frac{8}{-1}x=-\frac{9}{-1}$$

Διαιρέστε το 8 με το -1.

$$x^{2}-8x=-\frac{9}{-1}$$

Διαιρέστε το -9 με το -1.

$$x^{2}-8x=9$$

Διαιρέστε το -8, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -4. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=9+\left(-4\right)^{2}$$

Υψώστε το -4 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-8x+16=9+16$$

Προσθέστε το 9 και το 16.

$$x^{2}-8x+16=25$$

Παραγον x^{2}-8x+16. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=25$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Απλοποιήστε.

$$x-4=5 x-4=-5$$

Προσθέστε 4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=9 x=-1$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με -1.

$$x=9$$