Επίλυση 5x+9/8x-1-5x+1/3x-1=1

$$\frac { 5 x + 9 } { 8 x - 1 } - \frac { 5 x + 1 } { 3 x - 1 } = 1$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{-6\sqrt{6}i+15}{49}\approx 0,306122449-0,29993752i$$

$$x=\frac{15+6\sqrt{6}i}{49}\approx 0,306122449+0,29993752i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές \frac{1}{8},\frac{1}{3} επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(3x-1\right)\left(8x-1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 8x-1,3x-1.

$$\left(3x-1\right)\left(5x+9\right)-\left(8x-1\right)\left(5x+1\right)=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3x-1 με το 5x+9 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$15x^{2}+22x-9-\left(8x-1\right)\left(5x+1\right)=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 8x-1 με το 5x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$15x^{2}+22x-9-\left(40x^{2}+3x-1\right)=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 40x^{2}+3x-1, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$15x^{2}+22x-9-40x^{2}-3x+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Συνδυάστε το 15x^{2} και το -40x^{2} για να λάβετε -25x^{2}.

$$-25x^{2}+22x-9-3x+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Συνδυάστε το 22x και το -3x για να λάβετε 19x.

$$-25x^{2}+19x-9+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Προσθέστε -9 και 1 για να λάβετε -8.

$$-25x^{2}+19x-8=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3x-1 με το 8x-1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$-25x^{2}+19x-8=24x^{2}-11x+1$$

Αφαιρέστε 24x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$-25x^{2}+19x-8-24x^{2}=-11x+1$$

Συνδυάστε το -25x^{2} και το -24x^{2} για να λάβετε -49x^{2}.

$$-49x^{2}+19x-8=-11x+1$$

Προσθήκη 11x και στις δύο πλευρές.

$$-49x^{2}+19x-8+11x=1$$

Συνδυάστε το 19x και το 11x για να λάβετε 30x.

$$-49x^{2}+30x-8=1$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές.

$$-49x^{2}+30x-8-1=0$$

Αφαιρέστε 1 από -8 για να λάβετε -9.

$$-49x^{2}+30x-9=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -49, το b με 30 και το c με -9 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-49\right)\left(-9\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Υψώστε το 30 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-49\right)\left(-9\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -49.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+196\left(-9\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 196 επί -9.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-1764}}{2\left(-49\right)}$$

Προσθέστε το 900 και το -1764.

$$x=\frac{-30±\sqrt{-864}}{2\left(-49\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -864.

$$x=\frac{-30±12\sqrt{6}i}{2\left(-49\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -49.

$$x=\frac{-30±12\sqrt{6}i}{-98}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-30±12\sqrt{6}i}{-98} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -30 και το 12i\sqrt{6}.

$$x=\frac{-30+12\sqrt{6}i}{-98}$$

Διαιρέστε το -30+12i\sqrt{6} με το -98.

$$x=\frac{-6\sqrt{6}i+15}{49}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-30±12\sqrt{6}i}{-98} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 12i\sqrt{6} από -30.

$$x=\frac{-12\sqrt{6}i-30}{-98}$$

Διαιρέστε το -30-12i\sqrt{6} με το -98.

$$x=\frac{15+6\sqrt{6}i}{49}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-6\sqrt{6}i+15}{49} x=\frac{15+6\sqrt{6}i}{49}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές \frac{1}{8},\frac{1}{3} επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(3x-1\right)\left(8x-1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 8x-1,3x-1.

$$\left(3x-1\right)\left(5x+9\right)-\left(8x-1\right)\left(5x+1\right)=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3x-1 με το 5x+9 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$15x^{2}+22x-9-\left(8x-1\right)\left(5x+1\right)=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 8x-1 με το 5x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$15x^{2}+22x-9-\left(40x^{2}+3x-1\right)=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 40x^{2}+3x-1, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$15x^{2}+22x-9-40x^{2}-3x+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Συνδυάστε το 15x^{2} και το -40x^{2} για να λάβετε -25x^{2}.

$$-25x^{2}+22x-9-3x+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Συνδυάστε το 22x και το -3x για να λάβετε 19x.

$$-25x^{2}+19x-9+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Προσθέστε -9 και 1 για να λάβετε -8.

$$-25x^{2}+19x-8=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3x-1 με το 8x-1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$-25x^{2}+19x-8=24x^{2}-11x+1$$

Αφαιρέστε 24x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$-25x^{2}+19x-8-24x^{2}=-11x+1$$

Συνδυάστε το -25x^{2} και το -24x^{2} για να λάβετε -49x^{2}.

$$-49x^{2}+19x-8=-11x+1$$

Προσθήκη 11x και στις δύο πλευρές.

$$-49x^{2}+19x-8+11x=1$$

Συνδυάστε το 19x και το 11x για να λάβετε 30x.

$$-49x^{2}+30x-8=1$$

Προσθήκη 8 και στις δύο πλευρές.

$$-49x^{2}+30x=1+8$$

Προσθέστε 1 και 8 για να λάβετε 9.

$$-49x^{2}+30x=9$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -49.

$$\frac{-49x^{2}+30x}{-49}=\frac{9}{-49}$$

Η διαίρεση με το -49 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -49.

$$x^{2}+\frac{30}{-49}x=\frac{9}{-49}$$

Διαιρέστε το 30 με το -49.

$$x^{2}-\frac{30}{49}x=\frac{9}{-49}$$

Διαιρέστε το 9 με το -49.

$$x^{2}-\frac{30}{49}x=-\frac{9}{49}$$

Διαιρέστε το -\frac{30}{49}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{15}{49}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{15}{49} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{30}{49}x+\left(-\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{9}{49}+\left(-\frac{15}{49}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{15}{49} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{9}{49}+\frac{225}{2401}$$

Προσθέστε το -\frac{9}{49} και το \frac{225}{2401} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{216}{2401}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}-\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{216}{2401}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{216}{2401}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{15}{49}=\frac{6\sqrt{6}i}{49} x-\frac{15}{49}=-\frac{6\sqrt{6}i}{49}$$

Προσθέστε \frac{15}{49} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{15+6\sqrt{6}i}{49} x=\frac{-6\sqrt{6}i+15}{49}$$