Επίλυση 5/x-3-x-1/x-2=7

$$\frac { 5 } { x - 3 } - \frac { x - 1 } { x - 2 } = 7$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{\sqrt{11} + 11}{4} \approx 3,579156198$$

$$x = \frac{11 - \sqrt{11}}{4} \approx 1,920843802$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 2,3 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-3\right)\left(x-2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 5-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το 5.

$$5x-10-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-3 με το x-1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$5x-10-\left(x^{2}-4x+3\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}-4x+3, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$5x-10-x^{2}+4x-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Συνδυάστε το 5x και το 4x για να λάβετε 9x.

$$9x-10-x^{2}-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Αφαιρέστε 3 από -10 για να λάβετε -13.

$$9x-13-x^{2}=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 7 με το x-3.

$$9x-13-x^{2}=\left(7x-21\right)\left(x-2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 7x-21 με το x-2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$9x-13-x^{2}=7x^{2}-35x+42$$

Αφαιρέστε 7x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$9x-13-x^{2}-7x^{2}=-35x+42$$

Συνδυάστε το -x^{2} και το -7x^{2} για να λάβετε -8x^{2}.

$$9x-13-8x^{2}=-35x+42$$

Προσθήκη 35x και στις δύο πλευρές.

$$9x-13-8x^{2}+35x=42$$

Συνδυάστε το 9x και το 35x για να λάβετε 44x.

$$44x-13-8x^{2}=42$$

Αφαιρέστε 42 και από τις δύο πλευρές.

$$44x-13-8x^{2}-42=0$$

Αφαιρέστε 42 από -13 για να λάβετε -55.

$$44x-55-8x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-8x^{2}+44x-55=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -8, το b με 44 και το c με -55 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-44±\sqrt{44^{2}-4\left(-8\right)\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Υψώστε το 44 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-4\left(-8\right)\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -8.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936+32\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 32 επί -55.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-1760}}{2\left(-8\right)}$$

Προσθέστε το 1936 και το -1760.

$$x=\frac{-44±\sqrt{176}}{2\left(-8\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 176.

$$x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{2\left(-8\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -8.

$$x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -44 και το 4\sqrt{11}.

$$x=\frac{4\sqrt{11}-44}{-16}$$

Διαιρέστε το -44+4\sqrt{11} με το -16.

$$x=\frac{11-\sqrt{11}}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4\sqrt{11} από -44.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}-44}{-16}$$

Διαιρέστε το -44-4\sqrt{11} με το -16.

$$x=\frac{\sqrt{11}+11}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{11-\sqrt{11}}{4} x=\frac{\sqrt{11}+11}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 2,3 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-3\right)\left(x-2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 5-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το 5.

$$5x-10-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-3 με το x-1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$5x-10-\left(x^{2}-4x+3\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}-4x+3, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$5x-10-x^{2}+4x-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Συνδυάστε το 5x και το 4x για να λάβετε 9x.

$$9x-10-x^{2}-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Αφαιρέστε 3 από -10 για να λάβετε -13.

$$9x-13-x^{2}=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 7 με το x-3.

$$9x-13-x^{2}=\left(7x-21\right)\left(x-2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 7x-21 με το x-2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$9x-13-x^{2}=7x^{2}-35x+42$$

Αφαιρέστε 7x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$9x-13-x^{2}-7x^{2}=-35x+42$$

Συνδυάστε το -x^{2} και το -7x^{2} για να λάβετε -8x^{2}.

$$9x-13-8x^{2}=-35x+42$$

Προσθήκη 35x και στις δύο πλευρές.

$$9x-13-8x^{2}+35x=42$$

Συνδυάστε το 9x και το 35x για να λάβετε 44x.

$$44x-13-8x^{2}=42$$

Προσθήκη 13 και στις δύο πλευρές.

$$44x-8x^{2}=42+13$$

Προσθέστε 42 και 13 για να λάβετε 55.

$$44x-8x^{2}=55$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-8x^{2}+44x=55$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -8.

$$\frac{-8x^{2}+44x}{-8}=\frac{55}{-8}$$

Η διαίρεση με το -8 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -8.

$$x^{2}+\frac{44}{-8}x=\frac{55}{-8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{44}{-8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{55}{-8}$$

Διαιρέστε το 55 με το -8.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-\frac{55}{8}$$

Διαιρέστε το -\frac{11}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{11}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{11}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{55}{8}+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{11}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-\frac{55}{8}+\frac{121}{16}$$

Προσθέστε το -\frac{55}{8} και το \frac{121}{16} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{11}{16}$$

Παραγον x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{11}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{11}}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{11}}{4}$$

Προσθέστε \frac{11}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{11}+11}{4} x=\frac{11-\sqrt{11}}{4}$$