Επίλυση 5/x^2-4+x/x-2=4

$$\frac { 5 } { x ^ { 2 } - 4 } + \frac { x } { x - 2 } = 4$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-2\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}-4,x-2.

$$5+\left(x+2\right)x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+2 με το x.

$$5+x^{2}+2x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4 με το x-2.

$$5+x^{2}+2x=\left(4x-8\right)\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4x-8 με το x+2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$5+x^{2}+2x=4x^{2}-16$$

Αφαιρέστε 4x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$5+x^{2}+2x-4x^{2}=-16$$

Συνδυάστε το x^{2} και το -4x^{2} για να λάβετε -3x^{2}.

$$5-3x^{2}+2x=-16$$

Προσθήκη 16 και στις δύο πλευρές.

$$5-3x^{2}+2x+16=0$$

Προσθέστε 5 και 16 για να λάβετε 21.

$$21-3x^{2}+2x=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-3x^{2}+2x+21=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -3x^{2}+ax+bx+21. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=2 ab=-3\times 21=-63$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -63.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 2.

$$a=9 b=-7$$

Γράψτε πάλι το -3x^{2}+2x+21 ως \left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-7x+21\right).

$$\left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-7x+21\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 7 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(-x+3\right)+7\left(-x+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -x+3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-x+3\right)\left(3x+7\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε -x+3=0 και 3x+7=0.

$$x=3 x=-\frac{7}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-2\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}-4,x-2.

$$5+\left(x+2\right)x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+2 με το x.

$$5+x^{2}+2x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4 με το x-2.

$$5+x^{2}+2x=\left(4x-8\right)\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4x-8 με το x+2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$5+x^{2}+2x=4x^{2}-16$$

Αφαιρέστε 4x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$5+x^{2}+2x-4x^{2}=-16$$

Συνδυάστε το x^{2} και το -4x^{2} για να λάβετε -3x^{2}.

$$5-3x^{2}+2x=-16$$

Προσθήκη 16 και στις δύο πλευρές.

$$5-3x^{2}+2x+16=0$$

Προσθέστε 5 και 16 για να λάβετε 21.

$$21-3x^{2}+2x=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-3x^{2}+2x+21=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -3, το b με 2 και το c με 21 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-3\right)\times 21}}{2\left(-3\right)}$$

Υψώστε το 2 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-3\right)\times 21}}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12\times 21}}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 12 επί 21.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+252}}{2\left(-3\right)}$$

Προσθέστε το 4 και το 252.

$$x=\frac{-2±\sqrt{256}}{2\left(-3\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 256.

$$x=\frac{-2±16}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -3.

$$x=\frac{-2±16}{-6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-2±16}{-6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -2 και το 16.

$$x=\frac{14}{-6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{14}{-6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-2±16}{-6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 16 από -2.

$$x=-\frac{18}{-6}$$

Διαιρέστε το -18 με το -6.

$$x=3$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{7}{3} x=3$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-2\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}-4,x-2.

$$5+\left(x+2\right)x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+2 με το x.

$$5+x^{2}+2x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4 με το x-2.

$$5+x^{2}+2x=\left(4x-8\right)\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4x-8 με το x+2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$5+x^{2}+2x=4x^{2}-16$$

Αφαιρέστε 4x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$5+x^{2}+2x-4x^{2}=-16$$

Συνδυάστε το x^{2} και το -4x^{2} για να λάβετε -3x^{2}.

$$5-3x^{2}+2x=-16$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές.

$$-3x^{2}+2x=-16-5$$

Αφαιρέστε 5 από -16 για να λάβετε -21.

$$-3x^{2}+2x=-21$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -3.

$$\frac{-3x^{2}+2x}{-3}=-\frac{21}{-3}$$

Η διαίρεση με το -3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -3.

$$x^{2}+\frac{2}{-3}x=-\frac{21}{-3}$$

Διαιρέστε το 2 με το -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{21}{-3}$$

Διαιρέστε το -21 με το -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=7$$

Διαιρέστε το -\frac{2}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=7+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=7+\frac{1}{9}$$

Προσθέστε το 7 και το \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{64}{9}$$

Παραγον x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{8}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{8}{3}$$

Προσθέστε \frac{1}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=3 x=-\frac{7}{3}$$