Επίλυση 4x^2/x^2+25-10x+2x-24x-120/x-5=0

$$\frac { 4 x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + 25 - 10 x } + \frac { 2 x - 24 x - 120 } { x - 5 } = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{5 \sqrt{433} - 5}{18} \approx 5,502403346$$

$$x=\frac{-5\sqrt{433}-5}{18}\approx -6,057958902$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με 5 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-5\right)^{2}, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}+25-10x,x-5.

$$4x^{2}+\left(x-5\right)\left(2x-24x-120\right)=0$$

Συνδυάστε το 2x και το -24x για να λάβετε -22x.

$$4x^{2}+\left(x-5\right)\left(-22x-120\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-5 με το -22x-120 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$4x^{2}-22x^{2}-10x+600=0$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το -22x^{2} για να λάβετε -18x^{2}.

$$-18x^{2}-10x+600=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -18, το b με -10 και το c με 600 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\left(-18\right)\times 600}}{2\left(-18\right)}$$

Υψώστε το -10 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\left(-18\right)\times 600}}{2\left(-18\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -18.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+72\times 600}}{2\left(-18\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 72 επί 600.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+43200}}{2\left(-18\right)}$$

Προσθέστε το 100 και το 43200.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{43300}}{2\left(-18\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 43300.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±10\sqrt{433}}{2\left(-18\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -10 είναι 10.

$$x=\frac{10±10\sqrt{433}}{2\left(-18\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -18.

$$x=\frac{10±10\sqrt{433}}{-36}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{10±10\sqrt{433}}{-36} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 10 και το 10\sqrt{433}.

$$x=\frac{10\sqrt{433}+10}{-36}$$

Διαιρέστε το 10+10\sqrt{433} με το -36.

$$x=\frac{-5\sqrt{433}-5}{18}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{10±10\sqrt{433}}{-36} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 10\sqrt{433} από 10.

$$x=\frac{10-10\sqrt{433}}{-36}$$

Διαιρέστε το 10-10\sqrt{433} με το -36.

$$x=\frac{5\sqrt{433}-5}{18}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-5\sqrt{433}-5}{18} x=\frac{5\sqrt{433}-5}{18}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με 5 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-5\right)^{2}, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}+25-10x,x-5.

$$4x^{2}+\left(x-5\right)\left(2x-24x-120\right)=0$$

Συνδυάστε το 2x και το -24x για να λάβετε -22x.

$$4x^{2}+\left(x-5\right)\left(-22x-120\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-5 με το -22x-120 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$4x^{2}-22x^{2}-10x+600=0$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το -22x^{2} για να λάβετε -18x^{2}.

$$-18x^{2}-10x+600=0$$

Αφαιρέστε 600 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$-18x^{2}-10x=-600$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -18.

$$\frac{-18x^{2}-10x}{-18}=-\frac{600}{-18}$$

Η διαίρεση με το -18 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -18.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{-18}\right)x=-\frac{600}{-18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-10}{-18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x=-\frac{600}{-18}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-600}{-18} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x=\frac{100}{3}$$

Διαιρέστε το \frac{5}{9}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{5}{18}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{5}{18} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\left(\frac{5}{18}\right)^{2}=\frac{100}{3}+\left(\frac{5}{18}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{5}{18} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=\frac{100}{3}+\frac{25}{324}$$

Προσθέστε το \frac{100}{3} και το \frac{25}{324} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=\frac{10825}{324}$$

Παραγον x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{18}\right)^{2}=\frac{10825}{324}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10825}{324}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{5}{18}=\frac{5\sqrt{433}}{18} x+\frac{5}{18}=-\frac{5\sqrt{433}}{18}$$

Αφαιρέστε \frac{5}{18} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{5\sqrt{433}-5}{18} x=\frac{-5\sqrt{433}-5}{18}$$