Επίλυση 4/x+4/x-6=1

$$\frac { 4 } { x } + \frac { 4 } { x - 6 } = 1$$

Λύση ως προς x

$$x=2$$

$$x=12$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 0,6 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x-6\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-6 με το 4.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Συνδυάστε το 4x και το x\times 4 για να λάβετε 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x-6.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Προσθήκη 6x και στις δύο πλευρές.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Συνδυάστε το 8x και το 6x για να λάβετε 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx-24. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=14 ab=-\left(-24\right)=24$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 14.

$$a=12 b=2$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+14x-24 ως \left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(x-12\right)+2\left(x-12\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-12 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-12\right)\left(-x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-12=0 και -x+2=0.

$$x=12 x=2$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 0,6 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x-6\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-6 με το 4.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Συνδυάστε το 4x και το x\times 4 για να λάβετε 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x-6.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Προσθήκη 6x και στις δύο πλευρές.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Συνδυάστε το 8x και το 6x για να λάβετε 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με 14 και το c με -24 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το 14 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+4\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί -24.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-96}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 196 και το -96.

$$x=\frac{-14±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 100.

$$x=\frac{-14±10}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{-14±10}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-14±10}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -14 και το 10.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Διαιρέστε το -4 με το -2.

$$x=2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-14±10}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 10 από -14.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Διαιρέστε το -24 με το -2.

$$x=12$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=2 x=12$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 0,6 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x-6\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-6 με το 4.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Συνδυάστε το 4x και το x\times 4 για να λάβετε 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x-6.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Προσθήκη 6x και στις δύο πλευρές.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Συνδυάστε το 8x και το 6x για να λάβετε 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Προσθήκη 24 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$14x-x^{2}=24$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+14x=24$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}+14x}{-1}=\frac{24}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\frac{14}{-1}x=\frac{24}{-1}$$

Διαιρέστε το 14 με το -1.

$$x^{2}-14x=\frac{24}{-1}$$

Διαιρέστε το 24 με το -1.

$$x^{2}-14x=-24$$

Διαιρέστε το -14, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -7. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -7 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-24+\left(-7\right)^{2}$$

Υψώστε το -7 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-14x+49=-24+49$$

Προσθέστε το -24 και το 49.

$$x^{2}-14x+49=25$$

Παραγον x^{2}-14x+49. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=25$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Απλοποιήστε.

$$x-7=5 x-7=-5$$

Προσθέστε 7 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=12 x=2$$