Επίλυση 4/x^2-1+15+7x/x^4-5x^2+4=2/4-x^2

$$\frac { 4 } { x ^ { 2 } - 1 } + \frac { 15 + 7 x } { x ^ { 4 } - 5 x ^ { 2 } + 4 } = \frac { 2 } { 4 - x ^ { 2 } }$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,-1,1,2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}-1,x^{4}-5x^{2}+4,4-x^{2}.

$$\left(x^{2}-4\right)\times 4+15+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}-4 με το 4.

$$4x^{2}-16+15+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Προσθέστε -16 και 15 για να λάβετε -1.

$$4x^{2}-1+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -x^{2}+1 με το 2.

$$4x^{2}-1+7x=-2x^{2}+2$$

Προσθήκη 2x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$4x^{2}-1+7x+2x^{2}=2$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το 2x^{2} για να λάβετε 6x^{2}.

$$6x^{2}-1+7x=2$$

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές.

$$6x^{2}-1+7x-2=0$$

Αφαιρέστε 2 από -1 για να λάβετε -3.

$$6x^{2}-3+7x=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$6x^{2}+7x-3=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 6x^{2}+ax+bx-3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=7 ab=6\left(-3\right)=-18$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -18.

$$-1,18 -2,9 -3,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+18=17 -2+9=7 -3+6=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 7.

$$a=-2 b=9$$

Γράψτε πάλι το 6x^{2}+7x-3 ως \left(6x^{2}-2x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(9x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3x-1=0 και 2x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,-1,1,2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}-1,x^{4}-5x^{2}+4,4-x^{2}.

$$\left(x^{2}-4\right)\times 4+15+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}-4 με το 4.

$$4x^{2}-16+15+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Προσθέστε -16 και 15 για να λάβετε -1.

$$4x^{2}-1+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -x^{2}+1 με το 2.

$$4x^{2}-1+7x=-2x^{2}+2$$

Προσθήκη 2x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$4x^{2}-1+7x+2x^{2}=2$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το 2x^{2} για να λάβετε 6x^{2}.

$$6x^{2}-1+7x=2$$

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές.

$$6x^{2}-1+7x-2=0$$

Αφαιρέστε 2 από -1 για να λάβετε -3.

$$6x^{2}-3+7x=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$6x^{2}+7x-3=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 6, το b με 7 και το c με -3 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Υψώστε το 7 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί -3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+72}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 49 και το 72.

$$x=\frac{-7±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 121.

$$x=\frac{-7±11}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$x=\frac{-7±11}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-7±11}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -7 και το 11.

$$x=\frac{4}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{4}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=\frac{1}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-7±11}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 11 από -7.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-18}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,-1,1,2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}-1,x^{4}-5x^{2}+4,4-x^{2}.

$$\left(x^{2}-4\right)\times 4+15+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}-4 με το 4.

$$4x^{2}-16+15+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Προσθέστε -16 και 15 για να λάβετε -1.

$$4x^{2}-1+7x=\left(-x^{2}+1\right)\times 2$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -x^{2}+1 με το 2.

$$4x^{2}-1+7x=-2x^{2}+2$$

Προσθήκη 2x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$4x^{2}-1+7x+2x^{2}=2$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το 2x^{2} για να λάβετε 6x^{2}.

$$6x^{2}-1+7x=2$$

Προσθήκη 1 και στις δύο πλευρές.

$$6x^{2}+7x=2+1$$

Προσθέστε 2 και 1 για να λάβετε 3.

$$6x^{2}+7x=3$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{3}{6}$$

Η διαίρεση με το 6 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{3}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{3}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{1}{2}$$

Διαιρέστε το \frac{7}{6}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{7}{12}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{7}{12} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{7}{12} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{2}+\frac{49}{144}$$

Προσθέστε το \frac{1}{2} και το \frac{49}{144} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{121}{144}$$

Παραγον x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{121}{144}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{144}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{11}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{11}{12}$$

Αφαιρέστε \frac{7}{12} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$