Επίλυση 4/x^2-55/x=14

$$\frac { 4 } { x ^ { 2 } } - \frac { 55 } { x } = 14$$

Λύση ως προς x

$$x=-4$$

$$x=\frac{1}{14}\approx 0,071428571$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με 0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x^{2}, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2},x.

$$4-x\times 55=14x^{2}$$

Αφαιρέστε 14x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4-x\times 55-14x^{2}=0$$

Πολλαπλασιάστε -1 και 55 για να λάβετε -55.

$$4-55x-14x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-14x^{2}-55x+4=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -14x^{2}+ax+bx+4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-55 ab=-14\times 4=-56$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -56.

$$1,-56 2,-28 4,-14 7,-8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-56=-55 2-28=-26 4-14=-10 7-8=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -55.

$$a=1 b=-56$$

Γράψτε πάλι το -14x^{2}-55x+4 ως \left(-14x^{2}+x\right)+\left(-56x+4\right).

$$\left(-14x^{2}+x\right)+\left(-56x+4\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο -4 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(14x-1\right)-4\left(14x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 14x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(14x-1\right)\left(-x-4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 14x-1=0 και -x-4=0.

$$x=\frac{1}{14} x=-4$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με 0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x^{2}, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2},x.

$$4-x\times 55=14x^{2}$$

Αφαιρέστε 14x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4-x\times 55-14x^{2}=0$$

Πολλαπλασιάστε -1 και 55 για να λάβετε -55.

$$4-55x-14x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-14x^{2}-55x+4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -14, το b με -55 και το c με 4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{\left(-55\right)^{2}-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Υψώστε το -55 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3025-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -14.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3025+56\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 56 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3025+224}}{2\left(-14\right)}$$

Προσθέστε το 3025 και το 224.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3249}}{2\left(-14\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 3249.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±57}{2\left(-14\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -55 είναι 55.

$$x=\frac{55±57}{2\left(-14\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -14.

$$x=\frac{55±57}{-28}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{55±57}{-28} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 55 και το 57.

$$x=\frac{112}{-28}$$

Διαιρέστε το 112 με το -28.

$$x=-4$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{55±57}{-28} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 57 από 55.

$$x=-\frac{2}{-28}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-2}{-28} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{1}{14}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-4 x=\frac{1}{14}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με 0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x^{2}, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2},x.

$$4-x\times 55=14x^{2}$$

Αφαιρέστε 14x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4-x\times 55-14x^{2}=0$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$-x\times 55-14x^{2}=-4$$

Πολλαπλασιάστε -1 και 55 για να λάβετε -55.

$$-55x-14x^{2}=-4$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-14x^{2}-55x=-4$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -14.

$$\frac{-14x^{2}-55x}{-14}=-\frac{4}{-14}$$

Η διαίρεση με το -14 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -14.

$$x^{2}+\left(-\frac{55}{-14}\right)x=-\frac{4}{-14}$$

Διαιρέστε το -55 με το -14.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x=-\frac{4}{-14}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-4}{-14} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x=\frac{2}{7}$$

Διαιρέστε το \frac{55}{14}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{55}{28}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{55}{28} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x+\left(\frac{55}{28}\right)^{2}=\frac{2}{7}+\left(\frac{55}{28}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{55}{28} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x+\frac{3025}{784}=\frac{2}{7}+\frac{3025}{784}$$

Προσθέστε το \frac{2}{7} και το \frac{3025}{784} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x+\frac{3025}{784}=\frac{3249}{784}$$

Παραγον x^{2}+\frac{55}{14}x+\frac{3025}{784}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{55}{28}\right)^{2}=\frac{3249}{784}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{55}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3249}{784}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{55}{28}=\frac{57}{28} x+\frac{55}{28}=-\frac{57}{28}$$

Αφαιρέστε \frac{55}{28} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1}{14} x=-4$$