Επίλυση 30/x^2+5x+6-x/x+2=2x+1/x+3

$$\frac { 30 } { x ^ { 2 } + 5 x + 6 } - \frac { x } { x + 2 } = \frac { 2 x + 1 } { x + 3 }$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{14}{3} = -4\frac{2}{3} \approx -4,666666667$$

$$x=2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -3,-2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x+2\right)\left(x+3\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+3 με το x.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}+3x, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+2 με το 2x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Αφαιρέστε 2x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Συνδυάστε το -x^{2} και το -2x^{2} για να λάβετε -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Αφαιρέστε 5x και από τις δύο πλευρές.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Συνδυάστε το -3x και το -5x για να λάβετε -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές.

$$30-3x^{2}-8x-2=0$$

Αφαιρέστε 2 από 30 για να λάβετε 28.

$$28-3x^{2}-8x=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-3x^{2}-8x+28=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -3x^{2}+ax+bx+28. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα που θα επιλυθεί.

$$a+b=-8 ab=-3\times 28=-84$$

Δεδομένου ότι η ab είναι αρνητική, a και b έχουν τα αντίθετα σημάδια. Επειδή το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -84.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -8.

$$a=6 b=-14$$

Γράψτε πάλι το -3x^{2}-8x+28 ως \left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-14x+28\right).

$$\left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-14x+28\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 3x στην πρώτη και το 14 στη δεύτερη ομάδα.

$$3x\left(-x+2\right)+14\left(-x+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -x+2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-x+2\right)\left(3x+14\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, λύστε -x+2=0 και 3x+14=0.

$$x=2 x=-\frac{14}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -3,-2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x+2\right)\left(x+3\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+3 με το x.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}+3x, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+2 με το 2x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Αφαιρέστε 2x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Συνδυάστε το -x^{2} και το -2x^{2} για να λάβετε -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Αφαιρέστε 5x και από τις δύο πλευρές.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Συνδυάστε το -3x και το -5x για να λάβετε -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές.

$$30-3x^{2}-8x-2=0$$

Αφαιρέστε 2 από 30 για να λάβετε 28.

$$28-3x^{2}-8x=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-3x^{2}-8x+28=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -3, το b με -8 και το c με 28 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Υψώστε το -8 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-3\right)\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 12 επί 28.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+336}}{2\left(-3\right)}$$

Προσθέστε το 64 και το 336.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{400}}{2\left(-3\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 400.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±20}{2\left(-3\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -8 είναι 8.

$$x=\frac{8±20}{2\left(-3\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -3.

$$x=\frac{8±20}{-6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{8±20}{-6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 8 και το 20.

$$x=\frac{28}{-6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{28}{-6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{14}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{8±20}{-6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 20 από 8.

$$x=-\frac{12}{-6}$$

Διαιρέστε το -12 με το -6.

$$x=2$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{14}{3} x=2$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -3,-2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x+2\right)\left(x+3\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+3 με το x.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}+3x, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+2 με το 2x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Αφαιρέστε 2x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Συνδυάστε το -x^{2} και το -2x^{2} για να λάβετε -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Αφαιρέστε 5x και από τις δύο πλευρές.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Συνδυάστε το -3x και το -5x για να λάβετε -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Αφαιρέστε 30 και από τις δύο πλευρές.

$$-3x^{2}-8x=2-30$$

Αφαιρέστε 30 από 2 για να λάβετε -28.

$$-3x^{2}-8x=-28$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -3.

$$\frac{-3x^{2}-8x}{-3}=-\frac{28}{-3}$$

Η διαίρεση με το -3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-3}\right)x=-\frac{28}{-3}$$

Διαιρέστε το -8 με το -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{28}{-3}$$

Διαιρέστε το -28 με το -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{28}{3}$$

Διαιρέστε το \frac{8}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{4}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{4}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{28}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{4}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{28}{3}+\frac{16}{9}$$

Προσθέστε το \frac{28}{3} και το \frac{16}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{100}{9}$$

Παραγοντοποιήστε το x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποιηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{10}{3}$$

Αφαιρέστε \frac{4}{3} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=2 x=-\frac{14}{3}$$