Επίλυση 3x/x-1-4/x=3/x^2-x

$$\frac { 3 x } { x - 1 } - \frac { 4 } { x } = \frac { 3 } { x ^ { 2 } - x }$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 0,1 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x-1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-1,x,x^{2}-x.

$$x\times 3x-\left(x-1\right)\times 4=3$$

Πολλαπλασιάστε x και x για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}\times 3-\left(x-1\right)\times 4=3$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-1 με το 4.

$$x^{2}\times 3-\left(4x-4\right)=3$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 4x-4, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$x^{2}\times 3-4x+4=3$$

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}\times 3-4x+4-3=0$$

Αφαιρέστε 3 από 4 για να λάβετε 1.

$$x^{2}\times 3-4x+1=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx+1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-4 ab=3\times 1=3$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=-3 b=-1$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}-4x+1 ως \left(3x^{2}-3x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(-x+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-1\right)\left(3x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-1=0 και 3x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με 1.

$$x=\frac{1}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 0,1 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x-1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-1,x,x^{2}-x.

$$x\times 3x-\left(x-1\right)\times 4=3$$

Πολλαπλασιάστε x και x για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}\times 3-\left(x-1\right)\times 4=3$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-1 με το 4.

$$x^{2}\times 3-\left(4x-4\right)=3$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 4x-4, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$x^{2}\times 3-4x+4=3$$

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}\times 3-4x+4-3=0$$

Αφαιρέστε 3 από 4 για να λάβετε 1.

$$x^{2}\times 3-4x+1=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}-4x+1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με -4 και το c με 1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Υψώστε το -4 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 16 και το -12.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -4 είναι 4.

$$x=\frac{4±2}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{4±2}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{4±2}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 4 και το 2.

$$x=\frac{6}{6}$$

Διαιρέστε το 6 με το 6.

$$x=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{4±2}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2 από 4.

$$x=\frac{2}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με 1.

$$x=\frac{1}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 0,1 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x-1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-1,x,x^{2}-x.

$$x\times 3x-\left(x-1\right)\times 4=3$$

Πολλαπλασιάστε x και x για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}\times 3-\left(x-1\right)\times 4=3$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-1 με το 4.

$$x^{2}\times 3-\left(4x-4\right)=3$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 4x-4, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$x^{2}\times 3-4x+4=3$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}\times 3-4x=3-4$$

Αφαιρέστε 4 από 3 για να λάβετε -1.

$$x^{2}\times 3-4x=-1$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-4x=-1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{4}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{2}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{2}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{2}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Προσθέστε το -\frac{1}{3} και το \frac{4}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Παραγον x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Προσθέστε \frac{2}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με 1.

$$x=\frac{1}{3}$$