Επίλυση 3x/2x+1=x-19/2x^2+3x+1+x+5/x+1

$$\frac { 3 x } { 2 x + 1 } = \frac { x - 19 } { 2 x ^ { 2 } + 3 x + 1 } + \frac { x + 5 } { x + 1 }$$

Λύση ως προς x

$$x=2$$

$$x=7$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,-\frac{1}{2} επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x+1\right)\left(2x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 2x+1,2x^{2}+3x+1,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 3x=x-19+\left(2x+1\right)\left(x+5\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+1 με το 3.

$$\left(3x+3\right)x=x-19+\left(2x+1\right)\left(x+5\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3x+3 με το x.

$$3x^{2}+3x=x-19+\left(2x+1\right)\left(x+5\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x+1 με το x+5 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$3x^{2}+3x=x-19+2x^{2}+11x+5$$

Συνδυάστε το x και το 11x για να λάβετε 12x.

$$3x^{2}+3x=12x-19+2x^{2}+5$$

Προσθέστε -19 και 5 για να λάβετε -14.

$$3x^{2}+3x=12x-14+2x^{2}$$

Αφαιρέστε 12x και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+3x-12x=-14+2x^{2}$$

Συνδυάστε το 3x και το -12x για να λάβετε -9x.

$$3x^{2}-9x=-14+2x^{2}$$

Αφαιρέστε -14 και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}-9x-\left(-14\right)=2x^{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -14 είναι 14.

$$3x^{2}-9x+14=2x^{2}$$

Αφαιρέστε 2x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}-9x+14-2x^{2}=0$$

Συνδυάστε το 3x^{2} και το -2x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}-9x+14=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}-9x+14 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-9 ab=14$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 14.

$$-1,-14 -2,-7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-14=-15 -2-7=-9$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -9.

$$a=-7 b=-2$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-7\right)\left(x-2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-7=0 και x-2=0.

$$x=7 x=2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,-\frac{1}{2} επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x+1\right)\left(2x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 2x+1,2x^{2}+3x+1,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 3x=x-19+\left(2x+1\right)\left(x+5\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+1 με το 3.

$$\left(3x+3\right)x=x-19+\left(2x+1\right)\left(x+5\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3x+3 με το x.

$$3x^{2}+3x=x-19+\left(2x+1\right)\left(x+5\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x+1 με το x+5 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$3x^{2}+3x=x-19+2x^{2}+11x+5$$

Συνδυάστε το x και το 11x για να λάβετε 12x.

$$3x^{2}+3x=12x-19+2x^{2}+5$$

Προσθέστε -19 και 5 για να λάβετε -14.

$$3x^{2}+3x=12x-14+2x^{2}$$

Αφαιρέστε 12x και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+3x-12x=-14+2x^{2}$$

Συνδυάστε το 3x και το -12x για να λάβετε -9x.

$$3x^{2}-9x=-14+2x^{2}$$

Αφαιρέστε -14 και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}-9x-\left(-14\right)=2x^{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -14 είναι 14.

$$3x^{2}-9x+14=2x^{2}$$

Αφαιρέστε 2x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}-9x+14-2x^{2}=0$$

Συνδυάστε το 3x^{2} και το -2x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}-9x+14=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+14. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-9 ab=1\times 14=14$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 14.

$$-1,-14 -2,-7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-14=-15 -2-7=-9$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -9.

$$a=-7 b=-2$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-9x+14 ως \left(x^{2}-7x\right)+\left(-2x+14\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-2x+14\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο -2 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-7\right)-2\left(x-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-7\right)\left(x-2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-7=0 και x-2=0.

$$x=7 x=2$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,-\frac{1}{2} επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x+1\right)\left(2x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 2x+1,2x^{2}+3x+1,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 3x=x-19+\left(2x+1\right)\left(x+5\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+1 με το 3.

$$\left(3x+3\right)x=x-19+\left(2x+1\right)\left(x+5\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3x+3 με το x.

$$3x^{2}+3x=x-19+\left(2x+1\right)\left(x+5\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x+1 με το x+5 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$3x^{2}+3x=x-19+2x^{2}+11x+5$$

Συνδυάστε το x και το 11x για να λάβετε 12x.

$$3x^{2}+3x=12x-19+2x^{2}+5$$

Προσθέστε -19 και 5 για να λάβετε -14.

$$3x^{2}+3x=12x-14+2x^{2}$$

Αφαιρέστε 12x και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+3x-12x=-14+2x^{2}$$

Συνδυάστε το 3x και το -12x για να λάβετε -9x.

$$3x^{2}-9x=-14+2x^{2}$$

Αφαιρέστε -14 και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}-9x-\left(-14\right)=2x^{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -14 είναι 14.

$$3x^{2}-9x+14=2x^{2}$$

Αφαιρέστε 2x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}-9x+14-2x^{2}=0$$

Συνδυάστε το 3x^{2} και το -2x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}-9x+14=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -9 και το c με 14 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 14}}{2}$$

Υψώστε το -9 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 14}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 14.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-56}}{2}$$

Προσθέστε το 81 και το -56.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{25}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 25.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±5}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -9 είναι 9.

$$x=\frac{9±5}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{9±5}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 9 και το 5.

$$x=\frac{14}{2}$$

Διαιρέστε το 14 με το 2.

$$x=7$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{9±5}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 5 από 9.

$$x=\frac{4}{2}$$

Διαιρέστε το 4 με το 2.

$$x=2$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=7 x=2$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,-\frac{1}{2} επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x+1\right)\left(2x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 2x+1,2x^{2}+3x+1,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 3x=x-19+\left(2x+1\right)\left(x+5\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+1 με το 3.

$$\left(3x+3\right)x=x-19+\left(2x+1\right)\left(x+5\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3x+3 με το x.

$$3x^{2}+3x=x-19+\left(2x+1\right)\left(x+5\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x+1 με το x+5 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$3x^{2}+3x=x-19+2x^{2}+11x+5$$

Συνδυάστε το x και το 11x για να λάβετε 12x.

$$3x^{2}+3x=12x-19+2x^{2}+5$$

Προσθέστε -19 και 5 για να λάβετε -14.

$$3x^{2}+3x=12x-14+2x^{2}$$

Αφαιρέστε 12x και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}+3x-12x=-14+2x^{2}$$

Συνδυάστε το 3x και το -12x για να λάβετε -9x.

$$3x^{2}-9x=-14+2x^{2}$$

Αφαιρέστε 2x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}-9x-2x^{2}=-14$$

Συνδυάστε το 3x^{2} και το -2x^{2} για να λάβετε x^{2}.

$$x^{2}-9x=-14$$

Διαιρέστε το -9, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{9}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{9}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=-14+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{9}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=-14+\frac{81}{4}$$

Προσθέστε το -14 και το \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{25}{4}$$

Παραγον x^{2}-9x+\frac{81}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{5}{2}$$

Προσθέστε \frac{9}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=7 x=2$$