Επίλυση 3x+2/9-x^2=5x+1/x+3-1/3-x

$$\frac { 3 x + 2 } { 9 - x ^ { 2 } } = \frac { 5 x + 1 } { x + 3 } - \frac { 1 } { 3 - x }$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{\sqrt{15}}{5}+1\approx 1,774596669$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}}{5}+1\approx 0,225403331$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -3,3 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-3\right)\left(x+3\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 9-x^{2},x+3,3-x.

$$-\left(3x+2\right)=\left(x-3\right)\left(5x+1\right)+3+x$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 3x+2, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$-3x-2=\left(x-3\right)\left(5x+1\right)+3+x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-3 με το 5x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$-3x-2=5x^{2}-14x-3+3+x$$

Προσθέστε -3 και 3 για να λάβετε 0.

$$-3x-2=5x^{2}-14x+x$$

Συνδυάστε το -14x και το x για να λάβετε -13x.

$$-3x-2=5x^{2}-13x$$

Αφαιρέστε 5x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$-3x-2-5x^{2}=-13x$$

Προσθήκη 13x και στις δύο πλευρές.

$$-3x-2-5x^{2}+13x=0$$

Συνδυάστε το -3x και το 13x για να λάβετε 10x.

$$10x-2-5x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-5x^{2}+10x-2=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -5, το b με 10 και το c με -2 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-5\right)\left(-2\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Υψώστε το 10 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-5\right)\left(-2\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+20\left(-2\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 20 επί -2.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-40}}{2\left(-5\right)}$$

Προσθέστε το 100 και το -40.

$$x=\frac{-10±\sqrt{60}}{2\left(-5\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 60.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{15}}{2\left(-5\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -5.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{15}}{-10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-10±2\sqrt{15}}{-10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -10 και το 2\sqrt{15}.

$$x=\frac{2\sqrt{15}-10}{-10}$$

Διαιρέστε το -10+2\sqrt{15} με το -10.

$$x=-\frac{\sqrt{15}}{5}+1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-10±2\sqrt{15}}{-10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2\sqrt{15} από -10.

$$x=\frac{-2\sqrt{15}-10}{-10}$$

Διαιρέστε το -10-2\sqrt{15} με το -10.

$$x=\frac{\sqrt{15}}{5}+1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{\sqrt{15}}{5}+1 x=\frac{\sqrt{15}}{5}+1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -3,3 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-3\right)\left(x+3\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 9-x^{2},x+3,3-x.

$$-\left(3x+2\right)=\left(x-3\right)\left(5x+1\right)+3+x$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 3x+2, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$-3x-2=\left(x-3\right)\left(5x+1\right)+3+x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-3 με το 5x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$-3x-2=5x^{2}-14x-3+3+x$$

Προσθέστε -3 και 3 για να λάβετε 0.

$$-3x-2=5x^{2}-14x+x$$

Συνδυάστε το -14x και το x για να λάβετε -13x.

$$-3x-2=5x^{2}-13x$$

Αφαιρέστε 5x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$-3x-2-5x^{2}=-13x$$

Προσθήκη 13x και στις δύο πλευρές.

$$-3x-2-5x^{2}+13x=0$$

Συνδυάστε το -3x και το 13x για να λάβετε 10x.

$$10x-2-5x^{2}=0$$

Προσθήκη 2 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$10x-5x^{2}=2$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+10x=2$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -5.

$$\frac{-5x^{2}+10x}{-5}=\frac{2}{-5}$$

Η διαίρεση με το -5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -5.

$$x^{2}+\frac{10}{-5}x=\frac{2}{-5}$$

Διαιρέστε το 10 με το -5.

$$x^{2}-2x=\frac{2}{-5}$$

Διαιρέστε το 2 με το -5.

$$x^{2}-2x=-\frac{2}{5}$$

Διαιρέστε το -2, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -1. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{2}{5}+1$$

Προσθέστε το -\frac{2}{5} και το 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{3}{5}$$

Παραγον x^{2}-2x+1. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{3}{5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{5}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-1=\frac{\sqrt{15}}{5} x-1=-\frac{\sqrt{15}}{5}$$

Προσθέστε 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{15}}{5}+1 x=-\frac{\sqrt{15}}{5}+1$$