Επίλυση 3w(w+8)+w(w-4)/2-3=5-w^2

$$\frac { 3 w ( w + 8 ) + w ( w - 4 ) } { 2 } - 3 = 5 - w ^ { 2 }$$

Λύση ως προς w

$$w=-4$$

$$w=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 2.

$$3w\left(w+8\right)+w\left(w-4\right)-6=10-2w^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3w με το w+8.

$$3w^{2}+24w+w\left(w-4\right)-6=10-2w^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το w με το w-4.

$$3w^{2}+24w+w^{2}-4w-6=10-2w^{2}$$

Συνδυάστε το 3w^{2} και το w^{2} για να λάβετε 4w^{2}.

$$4w^{2}+24w-4w-6=10-2w^{2}$$

Συνδυάστε το 24w και το -4w για να λάβετε 20w.

$$4w^{2}+20w-6=10-2w^{2}$$

Αφαιρέστε 10 και από τις δύο πλευρές.

$$4w^{2}+20w-6-10=-2w^{2}$$

Αφαιρέστε 10 από -6 για να λάβετε -16.

$$4w^{2}+20w-16=-2w^{2}$$

Προσθήκη 2w^{2} και στις δύο πλευρές.

$$4w^{2}+20w-16+2w^{2}=0$$

Συνδυάστε το 4w^{2} και το 2w^{2} για να λάβετε 6w^{2}.

$$6w^{2}+20w-16=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$3w^{2}+10w-8=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3w^{2}+aw+bw-8. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 10.

$$a=-2 b=12$$

Γράψτε πάλι το 3w^{2}+10w-8 ως \left(3w^{2}-2w\right)+\left(12w-8\right).

$$\left(3w^{2}-2w\right)+\left(12w-8\right)$$

Παραγοντοποιήστε w στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$w\left(3w-2\right)+4\left(3w-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3w-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3w-2\right)\left(w+4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3w-2=0 και w+4=0.

$$w=\frac{2}{3} w=-4$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 2.

$$3w\left(w+8\right)+w\left(w-4\right)-6=10-2w^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3w με το w+8.

$$3w^{2}+24w+w\left(w-4\right)-6=10-2w^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το w με το w-4.

$$3w^{2}+24w+w^{2}-4w-6=10-2w^{2}$$

Συνδυάστε το 3w^{2} και το w^{2} για να λάβετε 4w^{2}.

$$4w^{2}+24w-4w-6=10-2w^{2}$$

Συνδυάστε το 24w και το -4w για να λάβετε 20w.

$$4w^{2}+20w-6=10-2w^{2}$$

Αφαιρέστε 10 και από τις δύο πλευρές.

$$4w^{2}+20w-6-10=-2w^{2}$$

Αφαιρέστε 10 από -6 για να λάβετε -16.

$$4w^{2}+20w-16=-2w^{2}$$

Προσθήκη 2w^{2} και στις δύο πλευρές.

$$4w^{2}+20w-16+2w^{2}=0$$

Συνδυάστε το 4w^{2} και το 2w^{2} για να λάβετε 6w^{2}.

$$6w^{2}+20w-16=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 6, το b με 20 και το c με -16 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$w=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 6\left(-16\right)}}{2\times 6}$$

Υψώστε το 20 στο τετράγωνο.

$$w=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 6\left(-16\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$w=\frac{-20±\sqrt{400-24\left(-16\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί -16.

$$w=\frac{-20±\sqrt{400+384}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 400 και το 384.

$$w=\frac{-20±\sqrt{784}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 784.

$$w=\frac{-20±28}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$w=\frac{-20±28}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση w=\frac{-20±28}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -20 και το 28.

$$w=\frac{8}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{8}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$w=\frac{2}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση w=\frac{-20±28}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 28 από -20.

$$w=-\frac{48}{12}$$

Διαιρέστε το -48 με το 12.

$$w=-4$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$w=\frac{2}{3} w=-4$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 2.

$$3w\left(w+8\right)+w\left(w-4\right)-6=10-2w^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3w με το w+8.

$$3w^{2}+24w+w\left(w-4\right)-6=10-2w^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το w με το w-4.

$$3w^{2}+24w+w^{2}-4w-6=10-2w^{2}$$

Συνδυάστε το 3w^{2} και το w^{2} για να λάβετε 4w^{2}.

$$4w^{2}+24w-4w-6=10-2w^{2}$$

Συνδυάστε το 24w και το -4w για να λάβετε 20w.

$$4w^{2}+20w-6=10-2w^{2}$$

Προσθήκη 2w^{2} και στις δύο πλευρές.

$$4w^{2}+20w-6+2w^{2}=10$$

Συνδυάστε το 4w^{2} και το 2w^{2} για να λάβετε 6w^{2}.

$$6w^{2}+20w-6=10$$

Προσθήκη 6 και στις δύο πλευρές.

$$6w^{2}+20w=10+6$$

Προσθέστε 10 και 6 για να λάβετε 16.

$$6w^{2}+20w=16$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 6.

$$\frac{6w^{2}+20w}{6}=\frac{16}{6}$$

Η διαίρεση με το 6 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 6.

$$w^{2}+\frac{20}{6}w=\frac{16}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{20}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$w^{2}+\frac{10}{3}w=\frac{16}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{16}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$w^{2}+\frac{10}{3}w=\frac{8}{3}$$

Διαιρέστε το \frac{10}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{5}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{5}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$w^{2}+\frac{10}{3}w+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{5}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$w^{2}+\frac{10}{3}w+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Προσθέστε το \frac{8}{3} και το \frac{25}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$w^{2}+\frac{10}{3}w+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Παραγον w^{2}+\frac{10}{3}w+\frac{25}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(w+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(w+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$w+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} w+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Αφαιρέστε \frac{5}{3} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$w=\frac{2}{3} w=-4$$