Επίλυση 3/x+5/x+2=2

$$\frac { 3 } { x } + \frac { 5 } { x + 2 } = 2$$

Λύση ως προς x

$$x=-1$$

$$x=3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+2.

$$\left(x+2\right)\times 3+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+2 με το 3.

$$3x+6+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

Συνδυάστε το 3x και το x\times 5 για να λάβετε 8x.

$$8x+6=2x\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x με το x+2.

$$8x+6=2x^{2}+4x$$

Αφαιρέστε 2x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$8x+6-2x^{2}=4x$$

Αφαιρέστε 4x και από τις δύο πλευρές.

$$8x+6-2x^{2}-4x=0$$

Συνδυάστε το 8x και το -4x για να λάβετε 4x.

$$4x+6-2x^{2}=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$2x+3-x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-x^{2}+2x+3=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx+3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=2 ab=-3=-3$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=3 b=-1$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+2x+3 ως \left(-x^{2}+3x\right)+\left(-x+3\right).

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(-x+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-3\right)\left(-x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-3=0 και -x-1=0.

$$x=3 x=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+2.

$$\left(x+2\right)\times 3+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+2 με το 3.

$$3x+6+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

Συνδυάστε το 3x και το x\times 5 για να λάβετε 8x.

$$8x+6=2x\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x με το x+2.

$$8x+6=2x^{2}+4x$$

Αφαιρέστε 2x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$8x+6-2x^{2}=4x$$

Αφαιρέστε 4x και από τις δύο πλευρές.

$$8x+6-2x^{2}-4x=0$$

Συνδυάστε το 8x και το -4x για να λάβετε 4x.

$$4x+6-2x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-2x^{2}+4x+6=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -2, το b με 4 και το c με 6 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-2\right)\times 6}}{2\left(-2\right)}$$

Υψώστε το 4 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-2\right)\times 6}}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+8\times 6}}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 8 επί 6.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+48}}{2\left(-2\right)}$$

Προσθέστε το 16 και το 48.

$$x=\frac{-4±\sqrt{64}}{2\left(-2\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 64.

$$x=\frac{-4±8}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -2.

$$x=\frac{-4±8}{-4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±8}{-4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -4 και το 8.

$$x=\frac{4}{-4}$$

Διαιρέστε το 4 με το -4.

$$x=-1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±8}{-4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 8 από -4.

$$x=-\frac{12}{-4}$$

Διαιρέστε το -12 με το -4.

$$x=3$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-1 x=3$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+2.

$$\left(x+2\right)\times 3+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+2 με το 3.

$$3x+6+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

Συνδυάστε το 3x και το x\times 5 για να λάβετε 8x.

$$8x+6=2x\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x με το x+2.

$$8x+6=2x^{2}+4x$$

Αφαιρέστε 2x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$8x+6-2x^{2}=4x$$

Αφαιρέστε 4x και από τις δύο πλευρές.

$$8x+6-2x^{2}-4x=0$$

Συνδυάστε το 8x και το -4x για να λάβετε 4x.

$$4x+6-2x^{2}=0$$

Αφαιρέστε 6 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$4x-2x^{2}=-6$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+4x=-6$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -2.

$$\frac{-2x^{2}+4x}{-2}=-\frac{6}{-2}$$

Η διαίρεση με το -2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -2.

$$x^{2}+\frac{4}{-2}x=-\frac{6}{-2}$$

Διαιρέστε το 4 με το -2.

$$x^{2}-2x=-\frac{6}{-2}$$

Διαιρέστε το -6 με το -2.

$$x^{2}-2x=3$$

Διαιρέστε το -2, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -1. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-2x+1=3+1$$

Προσθέστε το 3 και το 1.

$$x^{2}-2x+1=4$$

Παραγον x^{2}-2x+1. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=4$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Απλοποιήστε.

$$x-1=2 x-1=-2$$

Προσθέστε 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=3 x=-1$$